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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
26898 596443a2e6a2e7000d504760 高中 解答题 自招竞赛 求所有这样的正整数 $n$，使得 $2^8+2^{11}+2^n$ 是一个正整数的平方． 2022-04-17 20:14:59
26897 596443b3e6a2e7000d504763 高中 解答题 自招竞赛 设直线 $y=x+b$ 与抛物线 $y^2=2px(p>0)$ 交于 $A$，$B$ 两点，过 $A$，$B$ 的圆与 $y^2=2px(p>0)$ 交于另外两个不同点 $C$，$D$．求证：$AB \perp CD$． 2022-04-17 20:14:59
26896 596443c5e6a2e7000a85482f 高中 解答题 自招竞赛 设 $x$，$y$，$z$ 是三角形的三边长且 $x+y+z=1$，求实数 $\lambda$ 的最小值使 $\lambda(xy+yz+zx)\geqslant 3(\lambda+1)xyz+1$ 恒成立． 2022-04-17 20:14:59
26895 596443dee6a2e7000cc63b15 高中 解答题 自招竞赛 递增数列 $1,3,4,9,10,12,13,\cdots$ 由一些正整数组成，它们或者是 $3$ 的幂或者是若干个不同的 $3$ 的幂的和，求第 $2014$ 项的值． 2022-04-17 20:13:59
26894 59644688e6a2e7000a85484c 高中 解答题 自招竞赛 将各项均为正数的数列 $\{a_{n}\}$ 排成如下所示的三角形数阵（第 $n$ 行有 $n$ 个数，同一行中，下标小的数排在左边）．$b_{n}$ 表示数阵中，第 $n$ 行，第 $1$ 列的数．已知数列 $\{b_{n}\}$ 为等比数列，且从第 $3$ 行开始，各行均构成公差为 $d$ 的等差数列（第 $3$ 行的 $3$ 个数构成公差为 $d$ 的等差数列；第 $4$ 行的 $4$ 个数构成公差为 $d$ 的等差数列 $\cdots\cdots$），$a_{1}=1$，$a_{12}=17$，$a_{18}=34$．\[\begin{array}{ccccccccc}&&&&a_{1}&&&& \\ &&&a_{2}&&a_{3}&&&\\ &&a_{4}&&a_{5}&&a_{6}&& \\&a_{7}&&a_{8}&&a_{9}&&a_{10}&\\ \cdots &&\cdots &&\cdots&& \cdots&&\cdots\\ \end{array}\] 2022-04-17 20:13:59
26893 591289fce020e70007fbed9e 高中 解答题 自招竞赛 一个圆的内接四边形边长依次为 $1,2,3,4$，求这个圆的半径． 2022-04-17 20:12:59
26892 59128a0ae020e700094b0c74 高中 解答题 自招竞赛 已知月利率为 $r$，采用等额还款方式，则若本金为 $1$ 万元，试推导每月等额还款金额 $m$ 关于 $y$ 的函数关系式（假设贷款时间为 $2$ 年）． 2022-04-17 20:11:59
26891 59128a3be020e70007fbeda2 高中 解答题 自招竞赛 对于数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$：$1,3,3,3,5,5,5,5,5, \cdots $ 即正奇数 $k$ 有 $k$ 个，是否存在整数 $r,s,t$，使得对于任意正整数 $n$ 都有 ${a_n} = r \cdot \left[ {\sqrt {n + s} } \right] + t$ 恒成立（$[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数）． 2022-04-17 20:11:59
26890 59128a52e020e70007fbeda5 高中 解答题 自招竞赛 已知一无穷递增等差数列中有 $3$ 项：$13,25,41$，求证：$2009$ 为数列中的一项． 2022-04-17 20:10:59
26889 590fc243857b4200092b0717 高中 解答题 自招竞赛 设 $A,B,C$ 为边长为 $1$ 的三角形三边上各一点，求：$A{B^2} + B{C^2} + C{A^2}$ 的最小值． 2022-04-17 20:10:59
26888 59644defe6a2e7000a854886 高中 解答题 自招竞赛 设直线 $x+y=1$ 与抛物线 $y^{2}=2px(p>0)$ 相交于点 $A,B$，若 $OA\perp OB$，求抛物线方程以及 $\triangle OAB$ 的面积． 2022-04-17 20:09:59
26887 59644e40e6a2e7000d5047b1 高中 解答题 自招竞赛 如图，四边形 $ABCD$ 中，$E,F$ 分别是 $AD,BC$ 的中点，$P$ 是对角线 $BD$ 上的一点；直线 $EP,PF$ 分别交 $AB,DC$ 的延长线于 $M,N$．证明：线段 $MN$ 被直线 $EF$ 所平分． 2022-04-17 20:08:59
26886 59700d1fdbbeff0008bb4ea8 高中 解答题 自招竞赛 在非钝角三角形 $ABC$ 中，证明：$\sin A+\sin B+\sin C>2$． 2022-04-17 20:08:59
26885 59700d32dbbeff0009d29e50 高中 解答题 自招竞赛 在非钝角三角形 $ABC$ 中，证明：$\sin A+\sin B+\sin C>2$． 2022-04-17 20:07:59
26884 59646210e6a2e7000bb7ebbe 高中 解答题 自招竞赛 试确定，是否存在这样的正整数数列 $\{a_{n}\}$，满足：$a_{2013}=2013$，且对每个 $k\in\{2,3,\cdots,2013\}$，皆有 $|a_{k}-a_{k-1}|=20$ 或 $13$ 且其各项 $a_{1},a_{2},\cdots,a_{2013}$ 的值恰好构成 $1,2,\cdots,2013$ 的一个排列？证明你的结论． 2022-04-17 20:07:59
26883 596463a4e6a2e7000a854896 高中 解答题 自招竞赛 证明方程 $3x^{2}+9(1+\sqrt 3)x^{2}+18(1+\sqrt 3)x+12+10\sqrt 3=0$ 有唯一实根． 2022-04-17 20:07:59
26882 596463cce6a2e7000bb7ebcd 高中 解答题 自招竞赛 已知 $A,B,C$ 为 $\triangle ABC$ 的三个内角，向量 $\overrightarrow a$ 满足：$\left|\overrightarrow a\right|=\sqrt 2$，且 $\overrightarrow\alpha =\left(\cos\dfrac{A-B}{2},\sqrt 3\sin \dfrac{A+B}{2}\right)$，若 $C$ 最大时，存在动点 $M$，使 $\left|\overrightarrow{MA}\right|$，$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{MB}$ 成等差数列，求 $\dfrac{\overrightarrow{MC}}{\overrightarrow{AB}}$ 的最大值． 2022-04-17 20:06:59
26881 59646439e6a2e7000cc63b5e 高中 解答题 自招竞赛 已知抛物线 $C:x^{2}=2y$ 与直线 $l:y=kx-1$ 没有公共点，设点 $P$ 为直线 $l$ 上的动点，过 $P$ 作抛物线 $C$ 的两条切线，$A,B$ 为切点． 2022-04-17 20:05:59
26880 59128acae020e700094b0c7f 高中 解答题 自招竞赛 已知对任意 $x$ 均有 $a\cos x + b\cos 2x \geqslant - 1$ 恒成立，求 $w = a + b$ 的最大值和最小值． 2022-04-17 20:05:59
26879 59128b4ae020e7000878f918 高中 解答题 自招竞赛 将一个圆锥形容器正放，它的高为 $h$，圆锥内水面的高度为 ${h_1}$，${h_1} = \dfrac{1}{3}h$，将圆锥倒置，求倒置的水面的高度 ${h_2}$． 2022-04-17 20:04:59
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