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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
26958 59126cb3e020e7000878f756 高中 解答题 高考真题 设椭圆 $\dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac {y^2}3=1(a>\sqrt 3)$ 的右焦点为 $F$，右顶点为 $A$，已知 $\dfrac 1{|OF|}+\dfrac 1{|OA|}=\dfrac {3e}{|FA|}$，其中 $O$ 为原点，$e$ 为椭圆的离心率． 2022-04-17 20:48:59
26957 59126cc1e020e7000878f75a 高中 解答题 自招竞赛 若存在 $M$，使任意 $t \in D$（$D$ 为函数 $f\left( x \right)$ 的定义域），都有 $\left| {f\left( x \right)} \right| \leqslant M$，则称函数 $f\left( x \right)$ 有界．问函数 $f\left( x \right) = \dfrac{1}{x}\sin \dfrac{1}{x}$ 在 $x \in \left( {0,\dfrac{1}{2}} \right)$ 上是否有界？ 2022-04-17 20:48:59
26956 59126cfce020e70007fbec17 高中 解答题 自招竞赛 求证：$1 + \dfrac{1}{{\sqrt {{2^3}} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {{3^3}} }} + \cdots + \dfrac{1}{{\sqrt {{n^3}} }} < 3$． 2022-04-17 20:47:59
26955 59126d33e020e7000a798a1b 高中 解答题 自招竞赛 已知 $E$ 为棱长为 $a$ 的正方体 $ABCD - {A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$ 的棱 $AB$ 的中点，求点 $B$ 到平面 ${A_1}EC$ 的距离． 2022-04-17 20:47:59
26954 59126d62e020e7000a798a21 高中 解答题 自招竞赛 比较 ${\log _{24}}25$ 与 ${\log _{25}}26$ 的大小并说明理由． 2022-04-17 20:47:59
26953 59126ea6e020e70007fbec3f 高中 解答题 自招竞赛 从一个装有三个红球、两个白球的口袋中任取两球放入一个箱子中． 2022-04-17 20:46:59
26952 59126eeae020e700094b0afc 高中 解答题 自招竞赛 如图，若一倾斜角为 $60^\circ $ 的直线 $l$ 过双曲线 $C$ 的左焦点 $F$ 与双曲线 $C$ 交于 $A,B$ 两点，与双曲线 $C$ 的左准线交于 $M$，若 $\overrightarrow {BM} = \left( {2 + \sqrt 3 } \right)\overrightarrow {AM} $，又 $\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt 3 $． 2022-04-17 20:45:59
26951 59126f26e020e7000878f789 高中 解答题 自招竞赛 过双曲线 $C:{x^2} - \dfrac{{{y^2}}}{3} = {\lambda ^2}$（$\lambda > 0$，$\lambda $ 为常数）的左焦点 $F$ 作斜率为 $k$（$k \ne 0$）的动直线 $l$，$l$ 与双曲线 $C$ 的左、右支分别交于 $A$、$B$ 两点，点 $M$ 满足 $\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} $，其中 $O$ 为坐标原点． 2022-04-17 20:45:59
26950 5964280acbc47200093dd004 高中 解答题 自招竞赛 函数 $f(x)=2(2\cos x+1)\sin^2 x+\cos 3x , x \in \mathbb R$．求函数 $f(x)$ 的最大值． 2022-04-17 20:45:59
26949 59126f84e020e7000878f791 高中 解答题 自招竞赛 在正四棱柱 $ABCD - {A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$ 中，底面 $ABCD$ 的边长为 $4$，侧棱 $C{C_1}$ 长为 $3$，又 $E$ 为 $C{C_1}$ 上一点，且 $CE = 1$． 2022-04-17 20:44:59
26948 59126fa8e020e700094b0b07 高中 解答题 自招竞赛 在棱长为 $a$ 的正方体 $ABCD - {A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$ 中，$E,F,M$ 分别是 $AB,B{B_1},{A_1}{D_1}$ 的中点． 2022-04-17 20:44:59
26947 5964281dcbc47200093dd008 高中 解答题 自招竞赛 直线 $m$ 的方程为 $y=kx+1$，$A$，$B$ 为直线 $m$ 上的两点，其横坐标恰为关于 $x$ 的一元二次方程 $(1-k^2)x^2-2kx-2=0$ 的两个不同的负实数根．直线 $l$ 过点 $P(-2,0)$ 和线段 $AB$ 的中点，$CD$ 是 $y$ 轴上的一条动线段，考虑一切可能的直线 $l$，使得所有的直线 $l$ 与线段 $CD$ 均无公共点，$CD$ 长的最大值是否存在？如果存在，求出最大值；如果不存在，说明理由． 2022-04-17 20:43:59
26946 5912704de020e7000878f7a4 高中 解答题 自招竞赛 已知函数 $y = f\left( x \right)$ 的图象与函数 $g\left( x \right) = \dfrac{1}{2}\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right) + 2$ 的图象关于点 $\left( {0, 1} \right)$ 对称． 2022-04-17 20:42:59
26945 591270eae020e7000a798a66 高中 解答题 自招竞赛 求证：边长为 $1$ 的正五边形对角线长为 $\dfrac{{\sqrt 5 + 1}}{2}$． 2022-04-17 20:41:59
26944 59127146e020e700094b0b28 高中 解答题 自招竞赛 已知 ${a_1} + {a_2} + {a_3} = {b_1} + {b_2} + {b_3}$，${a_1}{a_2} + {a_2}{a_3} + {a_3}{a_1} = {b_1}{b_2} + {b_2}{b_3} + {b_3}{b_1}$．
若已知 $\min\{a_{1},a_{2},a_{3}\}\leqslant \min\{b_{1},b_{2},b_{3}\}$，求证：$\max\{a_{1},a_{2},a_{3}\}\leqslant \max\{b_{1},b_{2},b_{3}\}$．		 2022-04-17 20:41:59
26943 59127180e020e70007fbec6c 高中 解答题 自招竞赛 排球单循环赛，每场比赛获胜队得 $1$ 分，另一队得 $0$ 分．南方球队比北方球队多 $9$ 支，南方球队总得分是北方球队的 $9$ 倍．求证：冠军是一支南方球队． 2022-04-17 20:40:59
26942 591271b3e020e70007fbec71 高中 解答题 自招竞赛 无穷数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 定义如下：${a_1} = 1$，${a_2} = {a_3} = 2$，${a_4} = {a_5} = {a_6} = 3$，… 2022-04-17 20:39:59
26941 59642be7cbc472000a68b52c 高中 解答题 自招竞赛 设 $0<a<b$，证明：$\dfrac {\ln b-\ln a}{b-a}<\dfrac {1}{\sqrt {ab}}$． 2022-04-17 20:39:59
26940 59127269e020e700094b0b32 高中 解答题 高考真题 设 $f(x)=x\ln x-ax^2+(2a-1)x$，$a\in\mathbb R$． 2022-04-17 20:38:59
26939 5912728ce020e7000a798a78 高中 解答题 自招竞赛 设 ${f_1}(x) = \dfrac{{1 - x}}{{x + 1}}$，对于一切自然数 $n$，都有 ${f_{n + 1}}\left( x \right) = {f_1}\left[ {{f_n}\left( x \right)} \right]$，且 ${f_{36}}\left( x \right) = {f_6}\left( x \right)$，求 ${f_{28}}\left( x \right)$． 2022-04-17 20:37:59
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