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求所有这样的正整数 $n$，使得 $2^8+2^{11}+2^n$ 是一个正整数的平方．
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛河南省预赛
【标注】
【答案】
$12$
【解析】
情形一 当 $n\leqslant 8$ 时，$$N=2^n\cdot (2^{8-n}+2^{11-n}+1),$$因为 $2^{8-n}+2^{11-n}+1 $ 为奇数，所以要使 $N$ 为平方数，$n$ 必为偶数．
逐一验证 $n=2,4,6,8$ 知，$N$ 都不是平方数．
情形二 当 $n=9$ 时，$$N=2^8+2^{11}+2^9=2^8\times 11$$不是平方数．
情形三 当 $n \geqslant 10$ 时，$$N=2^8(9+2^{n-8}),$$要使 $N$ 为平方数，$9+2^{n-8}$ 应为奇数的平方．
不妨设 $9+2^{n-8}=(2k+1)^2$，则$$ 2^{n-10}=(k-1)(k+2),$$由于 $k-1$ 和 $k+2$ 是一奇一偶，左边为 $2$ 的幂，因而只能$$\begin{cases}k-1=1,\\2^{n-10}=k+2,\end{cases}$$解得得 $k=2$，$n=12$．
答案 解析 备注
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