设直线 $y=x+b$ 与抛物线 $y^2=2px(p>0)$ 交于 $A$，$B$ 两点，过 $A$，$B$ 的圆与 $y^2=2px(p>0)$ 交于另外两个不同点 $C$，$D$．求证：$AB \perp CD$．
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛河南省预赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，$C(x_3,y_3)$，$D(x_4,y_4)$，$A$，$B$，$C$，$D$ 所在的圆的方程为$$x^2+y^2+dx+ey+f=0.$$将圆的方程与 $y^2=2px$ 联立得：$$\dfrac {y^4}{4p^2}+y^2+\dfrac { dy^2}{2p}+ey+f=0,$$由韦达定理知此方程的四个根 $y_1$，$y_2$，$y_3$，$y_4$ 满足$$y_1+y_2+y_3+y_4=0,$$而$$k_{AB}=\dfrac {y_1-y_2}{x_1-x_2}=\dfrac {2p}{y_1+y_2}=1,$$于是$$k_{CD}=\dfrac {2p}{y_3+y_4}=-\dfrac {2p}{y_1+y_2}=-1.$$所以 $AB\perp CD$．
答案
解析
备注
