一个圆的内接四边形边长依次为 $1,2,3,4$，求这个圆的半径．
【难度】
【出处】
2009年北京大学自主招生保送生考试
【标注】
【答案】
$\dfrac{{\sqrt {2310} }}{{24}}$
【解析】
如图．
连接 $BD$，设 $\angle BAD = \theta $，则$$\angle BCD = {{\pi }} - \theta .$$由余弦定理，在 $\triangle ABD$ 中，$$B{D^2} = 17 - 8\cos \theta ,$$在 $\triangle BCD$ 中，$$B{D^2} = 13 + 12\cos \theta ,$$于是 $\cos \theta = \dfrac{1}{5}$，因此$$B{D^2} = \dfrac{{77}}{5},\sin \theta = \dfrac{{2\sqrt 6 }}{5}.$$根据正弦定理，外接圆半径为$$\frac{1}{2} \cdot \frac{{BD}}{{\sin \theta }} = \dfrac{1}{2} \cdot \frac{{\sqrt {\frac{{77}}{5}} }}{{\frac{{2\sqrt 6 }}{5}}} = \frac{{\sqrt {2310} }}{{24}}.$$
连接 $BD$，设 $\angle BAD = \theta $，则$$\angle BCD = {{\pi }} - \theta .$$由余弦定理，在 $\triangle ABD$ 中，$$B{D^2} = 17 - 8\cos \theta ,$$在 $\triangle BCD$ 中，$$B{D^2} = 13 + 12\cos \theta ,$$于是 $\cos \theta = \dfrac{1}{5}$，因此$$B{D^2} = \dfrac{{77}}{5},\sin \theta = \dfrac{{2\sqrt 6 }}{5}.$$根据正弦定理，外接圆半径为$$\frac{1}{2} \cdot \frac{{BD}}{{\sin \theta }} = \dfrac{1}{2} \cdot \frac{{\sqrt {\frac{{77}}{5}} }}{{\frac{{2\sqrt 6 }}{5}}} = \frac{{\sqrt {2310} }}{{24}}.$$
答案
解析
备注
