2013年全国高中数学联赛江西省预赛

略

作差可得\[\begin{split}&\quad \sin A+\sin B+\sin C-2\\&=\sin A+\sin B+\sin (A+B)-2\sin \left(\dfrac{A+B}{2}+\dfrac{C}{2}\right)\\&=2\sin \dfrac{A+B}{2}\cos \dfrac{A-B}{2}+2\sin \dfrac{A+B}{2}\cos \dfrac{A+B}{2}-2\sin \dfrac{A+B}{2}\cos \dfrac{C}{2}-2\cos \dfrac{A+B}{2}\sin \dfrac{C}{2}\\&=2\sin \dfrac{A+B}{2}\left(\cos \dfrac{A-B}{2}-\cos \dfrac{C}{2}\right)+2\cos \dfrac{A+B}{2}\left(\sin \dfrac{A+B}{2}-\sin \dfrac{C}{2}\right)\\&=4\sin \dfrac{A+B}{2}\sin \dfrac{A+C-B}{2}\sin \dfrac{B+C-A}{2}+2\cos \dfrac{A+B}{2}\left(\cos \dfrac{C}{2}-\sin \dfrac{C}{2}\right).\end{split}\]因为在锐角三角形 $\triangle ABC$ 中，任两个内角之和大于 $90^{\circ}$，而任一个半角小于 $45^{\circ}$，所以$$\begin{split}&\quad \sin A+\sin B+\sin C-2\\&=4\sin \dfrac{A+B}{2}\sin \dfrac{A+C-B}{2}\sin \dfrac{B+C-A}{2}+2\cos \dfrac{A+B}{2}\left(\cos \dfrac{C}{2}-\sin \dfrac{C}{2}\right)>0,\end{split}$$故 $\sin A+\sin B+\sin C>2$．