试确定，是否存在这样的正整数数列 $\{a_{n}\}$，满足：$a_{2013}=2013$，且对每个 $k\in\{2,3,\cdots,2013\}$，皆有 $|a_{k}-a_{k-1}|=20$ 或 $13$ 且其各项 $a_{1},a_{2},\cdots,a_{2013}$ 的值恰好构成 $1,2,\cdots,2013$ 的一个排列？证明你的结论．
【难度】
【出处】
2013年全国高中数学联赛江西省预赛
【标注】
【答案】
存在，证明略
【解析】
存在．
我们注意到，“差”运算具有“平移性”，即是说，如果 $|a_{k}-a_{k+1}|=20$ 或 $13$，那么，对任何整数 $c$，也有\[|(a_{k}+c)-(a_{k-1}+c)|=20\text{或}13.\]为此，先将集合 $\{1,2,\cdots,33\}$ 中的数排成一个圈，使得圈上任何两相邻两数之差皆为 $20$ 或 $13$，如图所示．
将此圈从任一间隙处剪开，铺成的线状排列 $a_{1},a_{2},\cdots,a_{33}$，都满足 $|a_{k}-a_{k+1}|=20$ 或 $13$．
为将数列锁定，在前面添加一项 $a_{0}=0$，使数列 $a_{0},a_{1},a_{2},\cdots,a_{33}$ 也满足条件，我们可选择与数 $33$ 相邻的一个间隙剪开．例如从 $33$ 右侧间隙剪开，并按顺时针排列，就成为：$0$，$13$，$26$，$6$，$19$，$32$，$12$，$25$，$5$，$18$，$31$，$11$，$24$，$4$，$17$，$30$，$10$，$23$，$3$，$16$，$29$，$9$，$22$，$2$，$15$，$28$，$8$，$21$，$1$，$14$，$27$，$7$，$20$，$33$．
若从 $33$ 左侧间隙剪开，并按逆时针排列，则成为：$0$，$20$，$7$，$27$，$14$，$\cdots$，$6$，$26$，$13$，$33$．这两种排列都满足$$|a_{k}-a_{k-1}|=20\text{或}13.$$记分段数列\[\begin{split}M_{0}&=\{13,26,6,19,32,12,2,5,18,31,11,24,4,17,30,10,2,3,16,29,9,22,2,15,28,8,21,1,14,27,7,20,33\}\\&=(a_{1},a_{2},\cdots,a_{33}).\end{split}\]而分段数列\[M_{k}=(a_{1+33k},a_{2+33k},\cdots,a_{33+33k})=(a_{1}+33k,a_{2}+33k,\cdots,a_{33}+33k),k=1,2,3,\cdots,60,\]将这些段作如下链接：$0$，$M_{0}$，$M_{1}$，$\cdots$，$M_{60}$，所得到的数列 $a_{0},a_{1},a_{2},\cdots,a_{2013}$ 满足条件．
因为$$a_{2013}=a_{33+33\times 60}=a_{33}+33\times 60=33+33\times 60=2013,$$所以对其中任意两个邻项 $a_{k},a_{k-1}$，若 $a_{k},a_{k-1}$ 属于同一个分段，显然 $|a_{k}-a_{k-1}|=20$ 或 $13$；若相邻项 $a_{k},a_{k-1}$ 属于两个相邻段 $M_n$，与 $M_{n+1}$，则 $a_{k}$ 是 $M_{n+1}$ 的首项，即\[a_{k}=a_{1}+33(n+1)=13+33(n+1),\]而 $a_{k-1}$ 是 $M_{n}$ 的末项，即$$a_{k-1}=a_{33}+33n=33+33n,$$这时有\[a_{k}-a_{k-1}=[13+33(n+1)]-[33+33n]=13,\]并且 $a_{1}-a_{0}=13$．
因此，数列 $a_{1},a_{2},\cdots,a_{2013}$ 满足条件．
我们注意到，“差”运算具有“平移性”，即是说，如果 $|a_{k}-a_{k+1}|=20$ 或 $13$，那么，对任何整数 $c$，也有\[|(a_{k}+c)-(a_{k-1}+c)|=20\text{或}13.\]为此，先将集合 $\{1,2,\cdots,33\}$ 中的数排成一个圈，使得圈上任何两相邻两数之差皆为 $20$ 或 $13$，如图所示．
将此圈从任一间隙处剪开，铺成的线状排列 $a_{1},a_{2},\cdots,a_{33}$，都满足 $|a_{k}-a_{k+1}|=20$ 或 $13$．为将数列锁定，在前面添加一项 $a_{0}=0$，使数列 $a_{0},a_{1},a_{2},\cdots,a_{33}$ 也满足条件，我们可选择与数 $33$ 相邻的一个间隙剪开．例如从 $33$ 右侧间隙剪开，并按顺时针排列，就成为：$0$，$13$，$26$，$6$，$19$，$32$，$12$，$25$，$5$，$18$，$31$，$11$，$24$，$4$，$17$，$30$，$10$，$23$，$3$，$16$，$29$，$9$，$22$，$2$，$15$，$28$，$8$，$21$，$1$，$14$，$27$，$7$，$20$，$33$．
若从 $33$ 左侧间隙剪开，并按逆时针排列，则成为：$0$，$20$，$7$，$27$，$14$，$\cdots$，$6$，$26$，$13$，$33$．这两种排列都满足$$|a_{k}-a_{k-1}|=20\text{或}13.$$记分段数列\[\begin{split}M_{0}&=\{13,26,6,19,32,12,2,5,18,31,11,24,4,17,30,10,2,3,16,29,9,22,2,15,28,8,21,1,14,27,7,20,33\}\\&=(a_{1},a_{2},\cdots,a_{33}).\end{split}\]而分段数列\[M_{k}=(a_{1+33k},a_{2+33k},\cdots,a_{33+33k})=(a_{1}+33k,a_{2}+33k,\cdots,a_{33}+33k),k=1,2,3,\cdots,60,\]将这些段作如下链接：$0$，$M_{0}$，$M_{1}$，$\cdots$，$M_{60}$，所得到的数列 $a_{0},a_{1},a_{2},\cdots,a_{2013}$ 满足条件．
因为$$a_{2013}=a_{33+33\times 60}=a_{33}+33\times 60=33+33\times 60=2013,$$所以对其中任意两个邻项 $a_{k},a_{k-1}$，若 $a_{k},a_{k-1}$ 属于同一个分段，显然 $|a_{k}-a_{k-1}|=20$ 或 $13$；若相邻项 $a_{k},a_{k-1}$ 属于两个相邻段 $M_n$，与 $M_{n+1}$，则 $a_{k}$ 是 $M_{n+1}$ 的首项，即\[a_{k}=a_{1}+33(n+1)=13+33(n+1),\]而 $a_{k-1}$ 是 $M_{n}$ 的末项，即$$a_{k-1}=a_{33}+33n=33+33n,$$这时有\[a_{k}-a_{k-1}=[13+33(n+1)]-[33+33n]=13,\]并且 $a_{1}-a_{0}=13$．
因此，数列 $a_{1},a_{2},\cdots,a_{2013}$ 满足条件．
答案
解析
备注
