证明方程 $3x^{2}+9(1+\sqrt 3)x^{2}+18(1+\sqrt 3)x+12+10\sqrt 3=0$ 有唯一实根．
【难度】
【出处】
2013年全国高中数学联赛河南省预赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
原方程可化为\[x^{3}+3(1+\sqrt 3)x^{2}+6(1+\sqrt 3)x+4+\dfrac{10}{3}\sqrt 3=0.\]令 $x=y-1$，则得$$y^{3}+3\sqrt 3y^{2}+3y+\dfrac{\sqrt 3}{3}=0,$$即\[\sqrt 3y^{3}+9y^{2}+3\sqrt 3y+1=0.\]再令 $y=-\dfrac{1}{z}$，得$$z^{3}-3\sqrt 3z^{2}+9z-\sqrt 3=0,$$所以\[z^{3}-3\sqrt 3z^{2}+9z-3\sqrt 3=-2\sqrt 3.\]解得$$z=\sqrt 3-\sqrt[3]{2\sqrt 3},$$所以$$x=-1-\dfrac{1}{\sqrt 3-\sqrt[3]{2\sqrt 3}}.$$故方程 $3x^{3}+9(1+\sqrt 3)x^{2}+18(1+\sqrt 3)x+12+10\sqrt 3=0$ 有唯一实根．
答案
解析
备注
