已知 $A,B,C$ 为 $\triangle ABC$ 的三个内角，向量 $\overrightarrow a$ 满足：$\left|\overrightarrow a\right|=\sqrt 2$，且 $\overrightarrow\alpha =\left(\cos\dfrac{A-B}{2},\sqrt 3\sin \dfrac{A+B}{2}\right)$，若 $C$ 最大时，存在动点 $M$，使 $\left|\overrightarrow{MA}\right|$，$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{MB}$ 成等差数列，求 $\dfrac{\overrightarrow{MC}}{\overrightarrow{AB}}$ 的最大值．
【难度】
【出处】
2013年全国高中数学联赛河南省预赛
【标注】
【答案】
$\dfrac{2\sqrt 3+\sqrt 2}{4}$
【解析】
由 $|\overrightarrow a|=\sqrt 2$，得$$cos^{2}\dfrac{A-B}{2}+3\sin^{2}\dfrac{A+B}{2}=2+\dfrac{1}{2}\cos (A-B)-\dfrac{3}{2}\cos (A+B)=2,$$即$$\cos (A-B)=3\cos (A+B),$$展开得$$2\sin A\sin B=\cos A\cos B,$$故$$\tan A\tan B=\dfrac{1}{2},$$所以\[\begin{split}\tan C&=-\tan (A+B)\\&=\dfrac{\tan A+\tan B}{\tan A\tan B-1}\\&=-2(\tan A+\tan B)\\&\leqslant -4\sqrt{\tan A\tan B}\\&-2\sqrt 2,\end{split}\]等号成立当且仅当 $\tan A=\tan B=\dfrac{\sqrt 2}{2}$．
令 $|AB|=2c$，因为$$\left|\overrightarrow{MA}\right|+\left|\overrightarrow{MB}\right|=4c,$$所以 $M$ 是椭圆 $\dfrac{x^{2}}{4c^{2}}+\dfrac{y^{2}}{3c^{2}}=1$ 上的动点．设 $M(x,y)$，因为点 $C\left(0,\dfrac{\sqrt 2}{2}c\right)$，所以\[\begin{split}&\quad |MC|^{2}=x^{2}+\left(y-\dfrac{\sqrt 2}{2}c\right)^{2}\\&=4c^{2}-\dfrac{4}{3}y^{2}+y^{2}-\sqrt 2cy+\dfrac{c^{2}}{2}\\&=-\dfrac{1}{3}y^{2}-\sqrt 2cy+\dfrac{9}{2}c^{2},|y|\leqslant \sqrt 3c.\end{split}\]当 $y=-\sqrt 3c$ 时，$$|MC|_{\max}=\dfrac{\sqrt 6+1}{\sqrt 2}c,$$即\[\left(\dfrac{\left|\overrightarrow{MC}\right|}{\left|\overrightarrow{AB}\right|}\right)_{\max}=\dfrac{2\sqrt 3+\sqrt 2}{4}.\]
令 $|AB|=2c$，因为$$\left|\overrightarrow{MA}\right|+\left|\overrightarrow{MB}\right|=4c,$$所以 $M$ 是椭圆 $\dfrac{x^{2}}{4c^{2}}+\dfrac{y^{2}}{3c^{2}}=1$ 上的动点．设 $M(x,y)$，因为点 $C\left(0,\dfrac{\sqrt 2}{2}c\right)$，所以\[\begin{split}&\quad |MC|^{2}=x^{2}+\left(y-\dfrac{\sqrt 2}{2}c\right)^{2}\\&=4c^{2}-\dfrac{4}{3}y^{2}+y^{2}-\sqrt 2cy+\dfrac{c^{2}}{2}\\&=-\dfrac{1}{3}y^{2}-\sqrt 2cy+\dfrac{9}{2}c^{2},|y|\leqslant \sqrt 3c.\end{split}\]当 $y=-\sqrt 3c$ 时，$$|MC|_{\max}=\dfrac{\sqrt 6+1}{\sqrt 2}c,$$即\[\left(\dfrac{\left|\overrightarrow{MC}\right|}{\left|\overrightarrow{AB}\right|}\right)_{\max}=\dfrac{2\sqrt 3+\sqrt 2}{4}.\]
答案
解析
备注
