将各项均为正数的数列 $\{a_{n}\}$ 排成如下所示的三角形数阵（第 $n$ 行有 $n$ 个数，同一行中，下标小的数排在左边）．$b_{n}$ 表示数阵中，第 $n$ 行，第 $1$ 列的数．已知数列 $\{b_{n}\}$ 为等比数列，且从第 $3$ 行开始，各行均构成公差为 $d$ 的等差数列（第 $3$ 行的 $3$ 个数构成公差为 $d$ 的等差数列；第 $4$ 行的 $4$ 个数构成公差为 $d$ 的等差数列 $\cdots\cdots$），$a_{1}=1$，$a_{12}=17$，$a_{18}=34$．\[\begin{array}{ccccccccc}&&&&a_{1}&&&& \\ &&&a_{2}&&a_{3}&&&\\ &&a_{4}&&a_{5}&&a_{6}&& \\&a_{7}&&a_{8}&&a_{9}&&a_{10}&\\ \cdots &&\cdots &&\cdots&& \cdots&&\cdots\\ \end{array}\]
【难度】
【出处】
2013年全国高中数学联赛福建省预赛
【标注】
-
求数阵中第 $m$ 行，第 $n$ 列的数 $A(m,n)$（用 $m,n$ 表示）；标注答案$2^m-1+n-1$解析设 $\{b_{n}\}$ 的公比为 $q$．
因为 $b_{1}=1$，所以$$b_{n}=q^{n-1}.$$依题意，$a_{12}$ 为数阵中第 $5$ 行，第 $2$ 列的数，所以$$a_{12}=q^{4}+d=17.$$因为 $a_{18}$ 为数阵中第 $6$ 行，第 $3$ 列的数，所以$$a_{18}=q^{5}+2d=34.$$由以上两方程解得 $q=2$，$d=1$，$b_{n}=2^{n-1}$．
因此$$A(m,n)=b_{m}+(n-1)d=2^{m-1}+n-1.$$ -
求 $a_{2013}$ 的值；标注答案$2^{62}+59$解析因为$$1+2+3+\cdots+62=1953,\\1+2+3+\cdots+62+63=2016,$$而$$2013-1953=60,$$所以 $a_{2013}$ 为数阵中第 $63$ 行，第 $60$ 列的数．
因此 $a_{2013}=2^{62}+59$． -
$2013$ 是否在该数阵中？并说明理由．标注答案不在，理由略解析假设 $2013$ 为数阵中第 $m$ 行，第 $n$ 列的数．
因为第 $m$ 行中，最小的数为 $2^{m-1}$，最大的数为 $2^{m-1}+m-1$，所以\[2^{m-1}\leqslant 2013\leqslant 2^{m-1}+m-1\cdots\cdots\text{ ① }\]情形一 当 $m\leqslant 10$ 时，$$2^{m-1}+m-1\leqslant 2^{9}+9=512<2013,$$因此 $m\leqslant 10$ 不符合 ①．情形二 当 $m\geqslant 11$ 时，$$2^{m-1}\geqslant 2^{10}=1024>2013,$$因此 $m\geqslant 11$ 不符合 ①．
故上述不等式 ① 无正整数解，所以 $2013$ 不在该数阵中．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
