2014年全国高中数学联赛河南省预赛

$5$

由原不等式可得$$\lambda \geqslant \dfrac {3xyz+1}{xy+yz+zx-3xyz},$$当 $x=y=z=\dfrac 13$ 时，$\lambda \geqslant 5$．
下证 $\lambda$ 的最小值为 $5$，即证明$$5(xy+yz+zx)\geqslant 18xyz+1.$$令 $x=a+b$，$y=b+c$，$z=c+a$，则$$a+b+c=\dfrac 12,$$且 $a,b,c >0$，于是\[\begin{split} 5(xy+yz+zx)&=5[(a+b)(b+c)+(b+c)(c+a)+(c+a)(a+b)] \\ &=5\left[\left(\dfrac 12-c\right)\left(\dfrac 12-a\right)+\left(\dfrac 12-a\right)\left(\dfrac 12-b\right)+\left(\dfrac 12-b\right)\left(\dfrac 12-c\right)\right]\\&\geqslant 18\left(\dfrac 12-c\right)\left(\dfrac 12-a\right)\left(\dfrac 12-b\right)+1,\end{split}\]所以$$5\left(\dfrac 14+ab+bc+ca\right) \geqslant 9(ab+bc+ca)-18abc+1,$$即$$\dfrac 14 \geqslant 4(ab+bc+ca)-18abc.$$由于对任意正数 $a$，$b$，$c$ 有$$(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\leqslant abc,$$而 $a+b+c=\dfrac 12$，所以$$\left(\dfrac 12-2c\right)\left(\dfrac 12-2a\right)\left(\dfrac 12-2b\right) \leqslant abc,$$所以$$2(ab+bc+ca)\leqslant 9abc+\dfrac 18.$$两边同乘以 $2$ 得$$\dfrac 14 \geqslant 4(ab+bc+ca)-18abc.$$故不等式$$5(xy+yz+zx)\geqslant 18xyz+1$$得证，即 $\lambda$ 的最小值为 $5$．