对于数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$：$1,3,3,3,5,5,5,5,5, \cdots $ 即正奇数 $k$ 有 $k$ 个，是否存在整数 $r,s,t$，使得对于任意正整数 $n$ 都有 ${a_n} = r \cdot \left[ {\sqrt {n + s} } \right] + t$ 恒成立（$[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数）．
【难度】
【出处】
2005年上海交通大学保送推优生考试
【标注】
【答案】
存在 $r=2,s=-1,t=1$ 满足题意
【解析】
若存在整数 $r,s,t$ 满足 ${a_n} = r \cdot [\sqrt {n + s} ] + t$ 恒成立，则由题意知\[\begin{split}{a_1} &= r[\sqrt {1 + s} ] + t = 1,\\ {a_2} &= r[\sqrt {2 + s} ] + t = 3,\end{split}\]两式相减得：$$r([\sqrt {2 + s} ] - [\sqrt {1 + s} ]) = 2.$$因为 $s + 1 \geqslant 0$，故$$s \geqslant - 1,$$又有$$(\sqrt {s + 2} - \sqrt {s + 1} )(\sqrt {s + 2} + \sqrt {s + 1} ) = 1,$$于是$$\sqrt {s + 2} - \sqrt {s + 1} \leqslant 1,$$从而$$[\sqrt {2 + s} ] \leqslant [\sqrt {s + 1} + 1] = [\sqrt {s + 1} ] + 1,$$于是$$0 \leqslant [\sqrt {2 + s} ] - [\sqrt {1 + s} ] \leqslant 1,$$故$$[\sqrt {s + 2} ] - [\sqrt {s + 1} ] = 1,r = 2,$$于是$$2[\sqrt {s + 1} ] + t = 1 \geqslant t,$$故 $t \leqslant 1$．
因为\[\begin{split}{a_4} &= 2[\sqrt {4 + s} ] + t = 3,\\ {a_5} &= 2[\sqrt {5 + s} ] + t = 5,\end{split}\]故$$[\sqrt {5 + s} ] - [\sqrt {4 + s} ] = 1,[\sqrt{4+s}]=\sqrt{3+s}]=\sqrt{2+s}].$$因为$$[\sqrt {s + 2} ] - [\sqrt {s + 1} ] = 1,$$记$$[\sqrt {s + 1} ] = k - 1,$$则$$[\sqrt{s+2}]=k=[\sqrt{s+4}],[\sqrt {s + 5} ] = k + 1, k \in {{\mathbb{N}}^ * },$$有$$\sqrt {s + 2} \geqslant k > \sqrt {s + 1} ,\sqrt {s + 5} \geqslant k + 1 > \sqrt {s + 4} .$$于是$$s + 2 \geqslant {k^2} > s + 1,s + 5 \geqslant {(k + 1)^2} > s + 4,$$而 $s$ 与 $k$ 都为整数，
故$$s + 2 = {k^2}, s + 5 = {(k + 1)^2}.$$解得 $s = - 1$，从而 $t = 1$．
因此$${a_n} = 2 \cdot [\sqrt {n - 1} ] + 1.$$下面验证此时满足题意．
若 $a_n=2[\sqrt{n-1}]+1$，则 $a_n$ 为奇数．
当 $a_n=2k+1$ 时，有 $[\sqrt{n-1}]=k$，即$$k\leqslant\sqrt{n-1}<k+1,$$从而有$$k^2+1\leqslant n<(k+1)^2+1,$$所以 $a_n=2k+1,k\in\mathbb{N}$ 的项有第 $k^2+1,k^2+2,\cdots,(k+1)^2$ 项，共 $2k+1$ 项，满足条件．
综上知，存在 $r=2,s=-1,t=1$ 满足题意．
因为\[\begin{split}{a_4} &= 2[\sqrt {4 + s} ] + t = 3,\\ {a_5} &= 2[\sqrt {5 + s} ] + t = 5,\end{split}\]故$$[\sqrt {5 + s} ] - [\sqrt {4 + s} ] = 1,[\sqrt{4+s}]=\sqrt{3+s}]=\sqrt{2+s}].$$因为$$[\sqrt {s + 2} ] - [\sqrt {s + 1} ] = 1,$$记$$[\sqrt {s + 1} ] = k - 1,$$则$$[\sqrt{s+2}]=k=[\sqrt{s+4}],[\sqrt {s + 5} ] = k + 1, k \in {{\mathbb{N}}^ * },$$有$$\sqrt {s + 2} \geqslant k > \sqrt {s + 1} ,\sqrt {s + 5} \geqslant k + 1 > \sqrt {s + 4} .$$于是$$s + 2 \geqslant {k^2} > s + 1,s + 5 \geqslant {(k + 1)^2} > s + 4,$$而 $s$ 与 $k$ 都为整数，
故$$s + 2 = {k^2}, s + 5 = {(k + 1)^2}.$$解得 $s = - 1$，从而 $t = 1$．
因此$${a_n} = 2 \cdot [\sqrt {n - 1} ] + 1.$$下面验证此时满足题意．
若 $a_n=2[\sqrt{n-1}]+1$，则 $a_n$ 为奇数．
当 $a_n=2k+1$ 时，有 $[\sqrt{n-1}]=k$，即$$k\leqslant\sqrt{n-1}<k+1,$$从而有$$k^2+1\leqslant n<(k+1)^2+1,$$所以 $a_n=2k+1,k\in\mathbb{N}$ 的项有第 $k^2+1,k^2+2,\cdots,(k+1)^2$ 项，共 $2k+1$ 项，满足条件．
综上知，存在 $r=2,s=-1,t=1$ 满足题意．
答案
解析
备注
