2009年北京大学自主招生保送生考试

• 题型

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  不等式

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  恒成立与存在性问题
• 方法

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  思考方式

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  必要条件探路

最大值为 $2$，最小值为 $ - 1$

因为$$a\cos x + b\left( {2{{\cos }^2}x - 1} \right) \geqslant - 1,$$所以$$2b{\cos ^2}x + a\cos x - b + 1 \geqslant 0.$$记$$f\left( x \right) = 2b{x^2} + ax + 1 - b,$$则当 $ - 1 \leqslant x \leqslant 1$ 时，$f\left( x \right) \geqslant 0$ 恒成立．
考虑将 $a + b$ 转化为函数在某处的取值，因为$$f\left( x \right) = \left( {2{x^2} - 1} \right) \cdot b + x \cdot a + 1,$$所以解方程$$2{x^2} - 1 = x,$$有 $x = 1$ 或 $x = - \dfrac{1}{2}$．于是由$$\begin{cases} f\left( 1 \right) \geqslant 0,\\ f\left( { - \frac{1}{2}} \right) \geqslant 0,\end{cases}$$有$$\begin{cases} a + b + 1 \geqslant 0,\\ - \dfrac{1}{2}\left( {a + b} \right) + 1 \geqslant 0,\end{cases}$$所以$$\begin{cases} a + b \geqslant - 1,\\ a + b \leqslant 2,\end{cases}$$所以 $ - 1 \leqslant w \leqslant 2$．
下面验证等号是否能够取到．
左侧等号若 $w = - 1$，则 $a + b = - 1$，于是$$f\left( x \right) = 2b{x^2} + \left( { - 1 - b} \right)x + 1 - b.$$考虑其判别式，$$\Delta = {\left( { - 1 - b} \right)^2} - 8b\left( {1 - b} \right) = {\left( {3b - 1} \right)^2},$$因此，取 $b = \dfrac{1}{3}$，$a = - \dfrac{4}{3}$ 即可．
右侧等号若 $w = 2$，则 $a + b = 2$，于是$$f\left( x \right) = 2b{x^2} + \left( {2 - b} \right)x + 1 - b.$$考虑其判别式，$$\Delta = {\left( {2 - b} \right)^2} - 8b\left( {1 - b} \right) = {\left( {3b - 2} \right)^2},$$因此，取 $b = \dfrac{2}{3}$，$a = \dfrac{4}{3}$ 即可．
综上，$w$ 的最小值为 $ - 1$，最大值为 $2$．