2013年全国高中数学联赛江西省预赛

略

令 $x=\tan \dfrac{A}{2}$，$y=\tan \dfrac{B}{2}$，$z=\tan \dfrac{C}{2}$，则$$xy+yz+zx=1,$$且\[\sin A=\dfrac{2x}{1+x^{2}},\sin B=\dfrac{2y}{1+y^{2}},\sin C=\dfrac{2z}{1+z^{2}},\]即要证\[\dfrac{2x}{1+x^{2}}+\dfrac{2y}{1+y^{2}}+\dfrac{2z}{1+z^{2}}>2\cdots\cdots\text{ ① }\]因为\[\begin{split}1+x^{2}&=(x+y)(x+z),\\ 1+y^{2}&=(y+x)(y+z),\\ 1+z^{2}&=(z+x)(z+y),\end{split}\]故 ① 式即\[\dfrac{4}{(x+y)(y+z)(x+z)}>2,\]也即\[(x+y)(y+z)(x+z)<2,\]即\[x+y+z-xyz<2\cdots\cdots\text{ ② }\]因为 $\dfrac{A}{2}$，$\dfrac{B}{2}$，$\dfrac{C}{2}\in \left(0,\dfrac{\pi}{4}\right]$，所以 $x,y,z\in(0,1)$，故$$(1-x)(1-y)(1-z)\geqslant 0,$$即\[1-(x+y+z)+(xy+yz+xz)-xyz\geqslant 0,\]此式即为\[x+y+z+xyz\leqslant 2\cdots\cdots \text{ ③ }\]由 ③ 知 ② 式成立（③ 式强于 ② 式），因此命题得证．