重置
序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
20598 5c8f567d210b286d074541dc 高中 解答题 自招竞赛 实数 $x\text{,}y$ 满足 $\frac{\sin x}{\sin y}\text{=}3\text{,}\frac{\operatorname{cosx}}{\cos y}\text{=}\frac{1}{2}$ 。 $\frac{\sin 2x}{\sin 2y}+\frac{\cos 2x}{\cos 2y}$ 可表示为 $\frac{p}{q}$ 其中 $p\text{,}q$ 为互质正整数。求 $p+q$ 。 2022-04-17 20:18:01
20597 5c8f5682210b286d125ef394 高中 解答题 自招竞赛 求 $1000$ 以内满足下述条件的正整数 $n$ 的个数。对于 $n$，存在正实数 $x$，使得 $n\text{=}x\left[ x \right]$ 。（注：$\left[ x \right]$ 为不超过 $x$ 的最大整数） 2022-04-17 20:17:01
20596 5c8f5688210b286d125ef399 高中 解答题 自招竞赛 令 ${{f}_{1}}\left( x \right)\text{=}\frac{2}{3}-\frac{3}{3x+1}$，对 $n\geqslant 2$，${{f}_{n}}\left( x \right)\text{=}{{f}_{1}}\left( {{f}_{n-1}}\left( x \right) \right)$ 。使得 ${{f}_{1001}}\left( x \right)\text{=}x-3$ 的 $x$ 可表示为 $\frac{m}{n}$，其中 $m\text{,}n$ 为互质正整数。求 $m+n$ 2022-04-17 20:17:01
20595 5c8f568d210b286d074541e3 高中 解答题 自招竞赛 对于正整数 $p$，我们称正整数 $n$ 为 $p-safe$ 的当 $n$ 和所有 $p$ 的倍数的差的绝对值大于 $2$ 。例如，$10-safe$ 的正整数集合为 $\left\{ 3\text{,}4\text{,}5\text{,}6\text{,}7\text{,13,14,15,16,17,23,}\cdots \right\}$ 。求不超过 $10000$ 同时满足 $7-safe\text{,}11-safe\text{,}13-safe$ 的正整数的个数。 2022-04-17 20:16:01
20594 5c8f5696210b286d074541e9 高中 解答题 自招竞赛 等边三角形 $\Delta ABC$ 边长 $\sqrt{111}$ 。现有四个不同的三角形 $\Delta A{{D}_{1}}{{E}_{1}},\Delta A{{D}_{1}}{{E}_{2}},\Delta A{{D}_{2}}{{E}_{3}},\Delta A{{D}_{2}}{{E}_{4}}$ 均与 $\Delta ABC$ 全等，且 $B{{D}_{1}}=B{{D}_{2}}=\sqrt{11}$ 。求 $\displaystyle \sum\limits_{k\text{=}1}^{4}{{{\left( C{{E}_{k}} \right)}^{2}}}$ 2022-04-17 20:16:01
20593 5c8f569c210b286d074541ef 高中 解答题 自招竞赛 现有一九人组，其中每人均与组中其他两人握手。记 $N$ 为可能存在的握手方式总数。我们认定两个握手方式是不同的当且仅当至少有两人仅在其中一种方式下握了手。求 $N$ 模 $1000$ 的值。 2022-04-17 20:15:01
20592 5c8f56a3210b286d074541f5 高中 解答题 自招竞赛 三角形 $ABC$ 内接于圆 $\omega $，且 $AB=5,BC=7,AC=3$ 。 $\angle A$ 的角平分线与 $BC$ 相交于 $D$，与 $\omega $ 相交于 $E$ 。令 $\gamma $ 为以 $DE$ 为直径的圆。 $\omega \text{,}\gamma $ 的交点为 $E$ 和另一点 $F$ 。记 $A{{F}^{2}}=\frac{m}{n}$，$m\text{,}n$ 互质正整数。求 $m+n$ 。 2022-04-17 20:15:01
20591 5c90871a210b286d07454226 高中 解答题 自招竞赛 AIME三项全能运动有半英里游泳，$30$ 英里自行车和 $8$ 英里跑构成。Tom 在比赛中分别以匀速游泳、骑车，跑步。他跑步的速度是有游泳的五倍，骑车的速度是跑步的两倍。Tom完成全部三项一共用时 $4.5$ 小时。求他花了多少分钟骑车 2022-04-17 20:14:01
20590 5c908720210b286d125ef3d3 高中 解答题 自招竞赛 求满足下述条件的 $5$ 位正整数 $n$：（a）$n$ 能被 $5$ 整除（b）$n$ 的首末数字相同（c）$n$ 的各位数字之和能被 $5$ 整除。 2022-04-17 20:14:01
20589 5c908725210b286d0745422d 高中 解答题 自招竞赛 $E,F$ 分别在正方形 $\square ABCD$ 的边 $AB,BC$ 上。过 $E$ 平行于 $BC$ 的直线和过 $F$ 平行于 $AB$ 的直线将 $\square ABCD$ 分成两个小正方形和两个矩形。两个小正方形的面积之和为 $\square ABCD$ 面积的 $\frac{9}{10}$ 。求 $\frac{AE}{EB}+\frac{EB}{AE}$ 2022-04-17 20:14:01
20588 5c90872c210b286d125ef3d9 高中 解答题 自招竞赛 在下图所示的 $13$ 个正方形中，$8$ 个正方形被染成红色，剩余 $5$ 个被染成蓝色。随机从所有可能的染色方案中选取一种，将其绕中心的正方形旋转 ${{90}^{{}^\circ }}$ 后所得染色方式相同的概率为 $\frac{1}{n}$ 。求 $n$ 2022-04-17 20:13:01
20587 5c908731210b286d125ef3de 高中 解答题 自招竞赛 方程 $8{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-3x-1\text{=}0$ 的实根可以表示为 $\frac{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+1}{c}$，其中 $a\text{,}b\text{,}c$ 为正整数。求 $a+b+c$ 2022-04-17 20:12:01
20586 5c908736210b286d125ef3e3 高中 解答题 自招竞赛 Melinda有三个空盒子和 $12$ 本教材，其中三本为数学书。三个盒子中分别用来装 $3\text{,}4\text{,}5$ 本她的教材。如果Melinda随机把书装入盒子中，三本数学书在同一盒子的概率为 $\frac{m}{n}$，其中 $m\text{,}n$ 为互质正整数。求 $m+n$ 2022-04-17 20:12:01
20585 5c90873e210b286d125ef3e8 高中 解答题 自招竞赛 一个矩形盒子长 $12$ 英寸，宽 $16$ 英寸，高 $\frac{m}{n}$，其中 $m\text{,}n$ 为互质正整数。盒子的三个面相交于盒子的一角。以这三个面的中心为顶点构成的三角形面积为 $30$ 平方英寸。求 $m+n$ 2022-04-17 20:11:01
20584 5c908742210b286d07454235 高中 解答题 自招竞赛 函数 $f\left( x \right)\text{=}\arcsin \left( {{\log }_{m}}\left( nx \right) \right)$ 的定义域是长度为 $\frac{1}{2013}$ 的区间，其中 $m\text{,}n$ 为互质正整数，且 $m\text{}1$ 。求 $m+n$ 最小值模 $1000$ 的值 2022-04-17 20:10:01
20583 5c908748210b286d125ef3ef 高中 解答题 自招竞赛 纸做的等边三角形 $\Delta ABC$ 边长为 $12$ 。将三角形折叠使得 $A$ 落在 $BC$ 上，距离 $B$ $9$ 的位置。折痕的长度可以表示为 $\frac{m\sqrt{p}}{n}$，其中 $m\text{,}n$ 为互质正整数，$p$ 为没有平方因子的正整数。求 $m+n+p$ 2022-04-17 20:10:01
20582 5c908752210b286d125ef3f6 高中 解答题 自招竞赛 数学小姐幼儿园班里有 $16$ 名注册的学生。教室里有 $N$（$N$ 充分大）的玩具积木满足如下条件：（a）如果班里来了 $16,15$ 或 $14$ 名学生，积木都可以满足平均分给每个学生（b）存在三个正整数 $0<x<y<z<14$ 满足当 $x\text{,}y$ 或 $z$ 名学生在教室时，刨去 $3$ 块积木后每个学生手中可分到相同数目的积木
求 $N$ 所有不同素因子之和		 2022-04-17 20:09:01
20581 5c908757210b286d125ef3fb 高中 解答题 自招竞赛 $\Delta PQR$ 中，$\angle P\text{=}{{75}^{{}^\circ }}\text{,}\angle Q\text{=}{{60}^{{}^\circ }}$ 。边长为 $1$ 的正六边形 $ABCDEF$ 在 $\Delta PQR$ 内，其中 $AB$ 在 $PQ$ 上，$CD$ 在 $QR$ 上，且剩下的某一个顶点在 $RP$ 上。 $\Delta PQR$ 的面积可表示为 $\frac{a+b\sqrt{c}}{d}$，其中 $a\text{,}b\text{,}c\text{,}d$ 为正整数，$a\text{,}d$ 互质且 $c$ 不含平方因子。求 $a+b+c+d$ 2022-04-17 20:08:01
20580 5c90875e210b286d125ef400 高中 解答题 自招竞赛 $\Delta A{{B}_{0}}{{C}_{0}}$ 中，$A{{B}_{0}}=12,{{B}_{0}}{{C}_{0}}=17,{{C}_{0}}A=25$ 。对每个正整数 $n$，${{B}_{n}}\text{,}{{C}_{n}}$ 分别在 $A{{B}_{n-1}}\text{,}A{{C}_{n-1}}$ 上，且满足 $\Delta A{{B}_{n}}{{C}_{n}}-\Delta {{B}_{n-1}}{{C}_{n}}{{C}_{n-1}}-\Delta A{{B}_{n-1}}{{C}_{n-1}}$ 。所有 $\Delta {{B}_{n-1}}{{C}_{n}}{{B}_{n}}\left( n\geqslant 1 \right)$ 的并集覆盖的面积可表示为 $\frac{p}{q}$，其中 $p\text{,}q$ 为互质正整数。求 $q$ 2022-04-17 20:07:01
20579 5c908883210b286d125ef40b 高中 解答题 自招竞赛 $N$ 为满足下述条件的有序三元数组 $\left( A,B,C \right)$ 的个数。（a）$0\leqslant A<B<C\leqslant 99$，（b）存在整数 $a\text{,}b\text{,}c$ 和质数 $p$ 满足 $0\leqslant b\text{}a\text{}c\text{}p$，（c）$p$ 整除 $A-a\text{,}B-b\text{,}C-c$，（d）$\left( A\text{,}B\text{,}C \right)\left( b\text{,}a\text{,}c \right)$ 构成等差数列。求 $N$ 2022-04-17 20:07:01
0.162974s