$\Delta A{{B}_{0}}{{C}_{0}}$ 中，$A{{B}_{0}}=12,{{B}_{0}}{{C}_{0}}=17,{{C}_{0}}A=25$ 。对每个正整数 $n$，${{B}_{n}}\text{,}{{C}_{n}}$ 分别在 $A{{B}_{n-1}}\text{,}A{{C}_{n-1}}$ 上，且满足 $\Delta A{{B}_{n}}{{C}_{n}}-\Delta {{B}_{n-1}}{{C}_{n}}{{C}_{n-1}}-\Delta A{{B}_{n-1}}{{C}_{n-1}}$ 。所有 $\Delta {{B}_{n-1}}{{C}_{n}}{{B}_{n}}\left( n\geqslant 1 \right)$ 的并集覆盖的面积可表示为 $\frac{p}{q}$，其中 $p\text{,}q$ 为互质正整数。求 $q$
【难度】
【出处】
2013年第31届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
961
【解析】
${{B}_{0}}{{C}_{0}}$ 互相平行，我们只需求出比例 $k\text{=}\frac{{{B}_{0}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}}{{{B}_{0}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}+{{C}_{1}}{{C}_{0}}{{B}_{0}}}$ 。根据海伦定理，大三角形的面积为 $90$，为方便起见，在接下来的解答中设该面积为“$1$”。注意到 $k\text{=}1-\frac{{{B}_{1}}{{C}_{1}}A}{A{{B}_{0}}{{C}_{0}}}-\frac{{{B}_{0}}{{C}_{0}}{{C}_{1}}}{A{{B}_{0}}{{C}_{0}}}$ 。根据相似比知 ${{B}_{0}}{{C}_{0}}{{C}_{1}}$ 为“$\frac{{{17}^{2}}}{{{25}^{2}}}$”，而由于 ${{C}_{1}}{{C}_{0}}=\frac{289}{625},{{B}_{1}}{{C}_{1}}A=''{{\left(\frac{336}{625} \right)}^{2}}''$ 。故我们所求总面积 $90*\frac{{{5}^{8}}-{{336}^{2}}-{{17}^{2}}*{{5}^{4}}}{{{5}^{8}}-{{336}^{2}}}$，经计算所求值为 $961$
答案
解析
备注
