对于正整数 $p$，我们称正整数 $n$ 为 $p-safe$ 的当 $n$ 和所有 $p$ 的倍数的差的绝对值大于 $2$ 。例如，$10-safe$ 的正整数集合为 $\left\{ 3\text{,}4\text{,}5\text{,}6\text{,}7\text{,13,14,15,16,17,23,}\cdots \right\}$ 。求不超过 $10000$ 同时满足 $7-safe\text{,}11-safe\text{,}13-safe$ 的正整数的个数。
【难度】
【出处】
2012年第30届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
958
【解析】
$n$ 为 $p\text{-}safe$ 当且仅当 $n$ 模 $p$ 的值大于 $2$ 小于 $p-2$ 。由中国剩余定理，$n$ 模 $7\cdot 11\cdot 13\text{=}1001$ 的值有 $2\cdot 6\cdot 8\text{=}96$ 种可能。因此共有 $960$ 个 $n$ 满足 $0\leqslant n\text{}10010$ 。我们还需除去大于 $10000$ 的 $n$，经计算可知 $10006\text{,}10007$ 。所以满足条件的 $n$ 有 $958$ 个。
答案
解析
备注
