等边三角形 $\Delta ABC$ 边长 $\sqrt{111}$ 。现有四个不同的三角形 $\Delta A{{D}_{1}}{{E}_{1}},\Delta A{{D}_{1}}{{E}_{2}},\Delta A{{D}_{2}}{{E}_{3}},\Delta A{{D}_{2}}{{E}_{4}}$ 均与 $\Delta ABC$ 全等，且 $B{{D}_{1}}=B{{D}_{2}}=\sqrt{11}$ 。求 $\displaystyle \sum\limits_{k\text{=}1}^{4}{{{\left( C{{E}_{k}} \right)}^{2}}}$
【难度】
【出处】
2012年第30届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
677
【解析】
注意到 ${{D}_{1}}{{D}_{2}}$ 可能的位置仅有两个，即以 $A$ 为圆心 $\sqrt{111}$ 为半径和以 $B$ 为圆心 $\sqrt{11}$ 为半径的两圆的交点。设 ${{D}_{1}},C$ 在 $AB$ 异侧，${{D}_{2}},C$ 在 $AB$ 同侧。设 $\angle BA{{D}_{1}}=\angle BA{{D}_{2}}=\theta$ 。由余弦定理，${{\sqrt{11}}^{2}}\text{=}{{\sqrt{111}}^{2}}+{{\sqrt{111}}^{2}}-2\sqrt{111}\cdot\sqrt{111}\cdot \cos \theta $，$11\text{=}222\left( 1-\cos \theta \right)$ 以 $A{{D}_{1}}$ 为边的等边三角形有两个，记 ${{E}_{1}}$ 为离 $C$ 较远的顶点，${{E}_{2}}$ 为离 $C$ 较近的顶点。 $\angle {{E}_{1}}AC=\angle{{E}_{1}}A{{D}_{1}}+\angle {{D}_{1}}AB+\angle BAC=60+\theta+60\text{=}120+\theta $ 由余弦定理，${{\left( {{E}_{1}}C \right)}^{2}}={{\left( {{E}_{1}}A\right)}^{2}}+{{\left( AC \right)}^{2}}-2\left( {{E}_{1}}A \right)\left({{E}_{1}}C \right)\cos \left( 120+\theta \right)\text{=}111+111-222\cos \left( 120+\theta \right)$，${{\left( {{E}_{2}}C \right)}^{2}}={{\left( {{E}_{2}}A\right)}^{2}}+{{\left( AC \right)}^{2}}-2\left( {{E}_{2}}A \right)\left({{E}_{2}}C \right)\cos \theta \text{=}111+111-222\cos \theta $ 以 $A{{D}_{2}}$ 为边的等边三角形有两个，记 ${{E}_{3}}$ 为离 $C$ 较远的顶点，${{E}_{4}}$ 为离 $C$ 较近的顶点。 $\angle {{E}_{3}}AC=\angle{{E}_{3}}AB+\angle BAC=\left( 60-\theta \right)+60\text{=}120-\theta $ 由余弦定理，$\displaystyle \begin{align}
& {{\left( {{E}_{3}}C\right)}^{2}}={{\left( {{E}_{3}}A \right)}^{2}}+{{\left( AC\right)}^{2}}-2\left( {{E}_{3}}A \right)\left( {{E}_{3}}C \right)\cos \left(120-\theta \right)\text{=}111+111-222\cos \left( 120-\theta \right) \\
& {{\left( {{E}_{4}}C\right)}^{2}}={{\left( {{E}_{4}}A \right)}^{2}}+{{\left( AC\right)}^{2}}-2\left( {{E}_{4}}A \right)\left( {{E}_{4}}C \right)\cos \theta\text{=}111+111-222\cos \theta \\
& \sum\limits_{k\text{=}1}^{4}{{{\left(C{{E}_{k}} \right)}^{2}}\text{=}}{{\left( {{E}_{1}}C \right)}^{2}}+{{\left({{E}_{2}}C \right)}^{2}}+{{\left( {{E}_{3}}C \right)}^{2}}+{{\left( {{E}_{4}}C\right)}^{2}} \\
& \text{=}222\left( 1-\cos \left(120+\theta \right) \right)+222\left(1-\cos \left( 120-\theta \right)\right)+222\left( 1-\cos \theta \right)+222\left( 1-\cos \theta \right) \\
& \text{=}222\left( 1+\frac{1}{2}\cos\theta +1+\frac{1}{2}\cos \theta +2-2\cos \theta \right) \\
& \text{=}222\left( 4-\cos \theta \right) \\
& \text{=}666+222\left( 1-\cos \theta \right) \\
\end{align}$，用11替换 $222\left( 1-\cos \theta \right)$，则所求值为 $666+11\text{=}677$
& {{\left( {{E}_{3}}C\right)}^{2}}={{\left( {{E}_{3}}A \right)}^{2}}+{{\left( AC\right)}^{2}}-2\left( {{E}_{3}}A \right)\left( {{E}_{3}}C \right)\cos \left(120-\theta \right)\text{=}111+111-222\cos \left( 120-\theta \right) \\
& {{\left( {{E}_{4}}C\right)}^{2}}={{\left( {{E}_{4}}A \right)}^{2}}+{{\left( AC\right)}^{2}}-2\left( {{E}_{4}}A \right)\left( {{E}_{4}}C \right)\cos \theta\text{=}111+111-222\cos \theta \\
& \sum\limits_{k\text{=}1}^{4}{{{\left(C{{E}_{k}} \right)}^{2}}\text{=}}{{\left( {{E}_{1}}C \right)}^{2}}+{{\left({{E}_{2}}C \right)}^{2}}+{{\left( {{E}_{3}}C \right)}^{2}}+{{\left( {{E}_{4}}C\right)}^{2}} \\
& \text{=}222\left( 1-\cos \left(120+\theta \right) \right)+222\left(1-\cos \left( 120-\theta \right)\right)+222\left( 1-\cos \theta \right)+222\left( 1-\cos \theta \right) \\
& \text{=}222\left( 1+\frac{1}{2}\cos\theta +1+\frac{1}{2}\cos \theta +2-2\cos \theta \right) \\
& \text{=}222\left( 4-\cos \theta \right) \\
& \text{=}666+222\left( 1-\cos \theta \right) \\
\end{align}$，用11替换 $222\left( 1-\cos \theta \right)$，则所求值为 $666+11\text{=}677$
答案
解析
备注
