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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
20538 5c9492c8210b286d07454364 高中 解答题 自招竞赛 在一所新学校中，$40%$ 的学生是大一新生，$30%$ 是大二生，$20%$ 是大三生，$10%$ 是大四生。所有大一的学生都被要求选拉丁语课，$80%$ 的大二生、$50%$ 的大三生和 $20%$ 的大四生也选修了拉丁语课。从所有选拉丁语课的学生中随机抽取一人为大二学生的概率为 $\frac{m}{n}$，其中 $m\text{,}n$ 为互质的正整数。求 $m+n$ 2022-04-17 20:43:00
20537 5c9492cd210b286d125ef5c9 高中 解答题 自招竞赛 $m$ 为最小的各位数字之和为 $17$ 且能被 $17$ 整除的最小正整数。求 $m$ 2022-04-17 20:43:00
20536 5c9492d3210b286d0745436a 高中 解答题 自招竞赛 在等腰梯形中，上下底分别长 $\log 3\text{,}\log 192$，且两底之间距离为 $\log 16$ 。该等腰梯形的周长可被写作 $\log {{2}^{p}}{{3}^{q}}$，其中 $p\text{,}q$ 为正整数。求 $p+q$ 2022-04-17 20:42:00
20535 5c9492d8210b286d125ef5d0 高中 解答题 自招竞赛 从 $n\times n$ 的正方形网格中随机选取两个单位正方形。求最小的正整数 $n$ 使得所选取的两个单位正方形水平或竖直方向相邻的概率小于 $\frac{1}{2015}$ 2022-04-17 20:41:00
20534 5c9492de210b286d07454370 高中 解答题 自招竞赛 Steve对Jon说：“我想到一个所有根都是正整数的多项式。该多项式形如 $P\left( x \right)\text{=}2{{x}^{3}}-2a{{x}^{2}}+\left( {{a}^{2}}-81 \right)x-c$，其中 $a\text{,}c$ 是正整数。你能求出 $a\text{,}c$ 的值么？”Jon计算了一段时间后回复道，“满足条件的多项式不唯一。”Steve说：“你说的没错，这个是 $a$ 的值，”他给Jon写下一个正整数，“现在你能说出 $c$ 的值了吗？”Jon说：“现在 $c$ 还是有两种可能。”求 $c$ 的两种可能值之和。 2022-04-17 20:41:00
20533 5c9492ed210b286d07454375 高中 解答题 自招竞赛 $\Delta ABC$ 中，$AB=12,BC=25,CA=17$ 。矩形 $PQRS$ 的顶点 $P$ 在 $AB$ 上，$Q$ 在 $AC$ 上，$R,S$ 在 $BC$ 上。 $PQ=w$，则矩形 $PQRS$ 的面积有 $Area\left( PQSR \right)=\alpha w-\beta \cdot {{w}^{2}}$ 。系数 $\beta \text{=}\frac{m}{n}$，其中 $m,n$ 为互质的正整数。求 $m+n$ 2022-04-17 20:40:00
20532 5c9492f3210b286d0745437a 高中 解答题 自招竞赛 $a\text{,}b$ 为正整数且满足 $\frac{ab+1}{a+b}\text{}\frac{3}{2}$ 。 $\frac{{{a}^{3}}{{b}^{3}}+1}{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}}$ 的最大值为 $\frac{p}{q}$，其中 $p\text{,}q$ 为互质的正整数。求 $p+q$ 2022-04-17 20:40:00
20531 5c9492fe210b286d125ef5d8 高中 解答题 自招竞赛 一个半径 $4$ 英尺，高 $10$ 英尺的圆柱形桶装满水。一个棱长 $8$ 英尺的实心立方体被置于桶口使得其对角线垂直于地面。放置立方体后溢出的水量为 $v$ 立方英尺。求 ${{v}^{\text{2}}}$ 2022-04-17 20:39:00
20530 5c949308210b286d125ef5dd 高中 解答题 自招竞赛 称 $\text{1}\text{2}\cdots \text{,}n$ 的一个排列 ${{a}_{1}}\text{,}{{a}_{2}}\text{,}\cdots {{a}_{k}}$ 是类上升的如果 ${{a}_{k}}\leqslant {{a}_{k+1}}+2\left( 1\leqslant k\leqslant n-1 \right)$ 。例如 $54321$ 和 $14253$ 都是 $1\text{,}2\text{,}3\text{,}4\text{,}5$ 的类上升排列，但 $45123$ 不是。求 $1\text{,}2\text{,}3\text{,}4\text{,}5\text{,}6\text{,}7$ 的类上升排列数 2022-04-17 20:38:00
20529 5c94930d210b286d125ef5e2 高中 解答题 自招竞赛 $\Delta ABC$ 的外接圆圆心 $O$ 。经过 $O$ 的垂直于 $OB$ 的直线交 $AB,BC$ 于 $P,Q$ 。 $AB=5,BC=4,BQ=4.5,BP=\frac{m}{n}$，其中 $m\text{,}n$ 为互质的正整数。求 $m+n$ 2022-04-17 20:38:00
20528 5c949315210b286d07454382 高中 解答题 自招竞赛 由字母 $A,B$ 构成的 $10$ 位数字符串有 ${{2}^{10}}\text{=}1024$ 种。求不含超过三个连续相同字母的字符串的个数 2022-04-17 20:37:00
20527 5c94931d210b286d125ef5e8 高中 解答题 自招竞赛 数列 ${{a}_{1}}\text{,}{{a}_{2}}\text{,}{{a}_{3}}\text{,}\cdots $ 满足 $\displaystyle {{a}_{n}}\text{=}\sum\limits_{k\text{=}1}^{n}{\sin k}$，其中 $k$ 是弧度制下的值。求第 $100$ 个满足 ${{a}_{n}}\text{}0$ 的下标 2022-04-17 20:37:00
20526 5c949323210b286d07454388 高中 解答题 自招竞赛 $x\text{,}y$ 为实数，满足 ${{x}^{4}}{{y}^{5}}+{{y}^{4}}{{x}^{5}}\text{=}810\text{,}{{x}^{3}}{{y}^{6}}+{{y}^{3}}{{x}^{6}}\text{=}945$ 。求 $2{{x}^{3}}+{{\left( xy \right)}^{3}}+2{{y}^{3}}$ 2022-04-17 20:36:00
20525 5c94932a210b286d125ef5ee 高中 解答题 自招竞赛 圆 $P$ 和圆 $Q$ 半径分别为 $1,4$，并且两圆外切于点 $A$ 。点 $B$ 在圆 $P$ 上，点 $C$ 在圆 $Q$ 上，使得 $BC$ 为两圆的外公切线段。过 $A$ 的直线 $l$ 交圆 $P$ 于另一点 $D$ 并且交圆 $Q$ 于另一点 $E$ 。 $B,C$ 在该直线同侧，并且 $\Delta DBA$ 和 $\Delta ACE$ 面积相等。两三角形的面积为 $\frac{m}{n}$，其中 $m\text{,}n$ 为互质的正整数。求 $m+n$ 2022-04-17 20:36:00
20524 5c6a2177210b281dbaa93303 高中 解答题 自招竞赛 设两个复数 $x$，$y$ 的平方和是7，其立方和是10，$x+y$ 可能取的实数值最大的是几？ 2022-04-17 20:35:00
20523 5c6a3e94210b281dbaa93330 高中 解答题 自招竞赛 如果 ${{a}_{1}}$，${{a}_{2}}$，${{a}_{3}}$，…是等差数列，公差是1，${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}}+\cdots +{{a}_{98}}=137$，求 ${{a}_{2}}+{{a}_{4}}+{{a}_{6}}+\cdots +{{a}_{98}}$ 的值． 2022-04-17 20:35:00
20522 5c9839c3210b286d125ef622 高中 解答题 高中习题 证明下列组合恒等式
（1）$\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{n}{kC_{n}^{k}=n\cdot {{2}^{n-1}}}$
（2）$\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}{{{k}^{2}}C_{n}^{k}}=n(n+1)\cdot {{2}^{n-2}}$
（3）$C_{n}^{0}+\dfrac{1}{2}C_{n}^{1}+\dfrac{1}{3}C_{n}^{2}+...+\dfrac{1}{n+1}C_{n}^{n}=\dfrac{{{2}^{n+1}}-1}{n+1}$		 2022-04-17 20:34:00
20521 5c9839e8210b286d125ef627 高中 解答题 高中习题 证明下列组合恒等式
（1）$C_{n}^{m}C_{m}^{m}+C_{n}^{m+1}C_{m+1}^{m}+C_{n}^{m+2}C_{m+2}^{m}+...+C_{n}^{n}C_{n}^{m}={{2}^{n-m}}\centerdot C_{n}^{m}$
（2）$\displaystyle \sum\limits_{k=m}^{n}{{{(-1)}^{k}}C_{n}^{k}C_{k}^{m}}=\left\{ \begin{matrix}
{{(-1)}^{n}} & m=n \\
0 & m<n \\
\end{matrix} \right.$
（3）$C_{n}^{n}+C_{n+1}^{n}+C_{n+2}^{n}+...+C_{n+k}^{n}=C_{n+k+1}^{n+1}$		 2022-04-17 20:33:00
20520 5c983a0a210b286d125ef62d 高中 解答题 高中习题 证明下列组合恒等式
（1）$\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{r}{C_{n}^{k}C_{m}^{r-k}}=C_{m+n}^{r}$
（2）$\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{n}{{{(C_{n}^{k})}^{2}}}=C_{2n}^{n}$
（3）$\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}{k{{(C_{n}^{k})}^{2}}}=nC_{2n-1}^{n-1}$		 2022-04-17 20:33:00
20519 5c983a23210b286d125ef632 高中 解答题 高中习题 证明下列组合恒等式
（1）$C_{n}^{1}-\dfrac{1}{2}C_{n}^{2}+\dfrac{1}{3}C_{n}^{3}-...+\dfrac{{{(-1)}^{n-1}}}{n}C_{n}^{n}=1+\dfrac{1}{2}+...+\dfrac{1}{n}$
（2）$\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{n}{\dfrac{1}{{{2}^{k}}}C_{n+k}^{n}}={{2}^{n}}$		 2022-04-17 20:33:00
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