令 ${{f}_{1}}\left( x \right)\text{=}\frac{2}{3}-\frac{3}{3x+1}$，对 $n\geqslant 2$，${{f}_{n}}\left( x \right)\text{=}{{f}_{1}}\left( {{f}_{n-1}}\left( x \right) \right)$ 。使得 ${{f}_{1001}}\left( x \right)\text{=}x-3$ 的 $x$ 可表示为 $\frac{m}{n}$，其中 $m\text{,}n$ 为互质正整数。求 $m+n$
【难度】
【出处】
2012年第30届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
008
【解析】
观察 ${{f}_{k}}\left( x \right)$ 的前若干项，得到 ${{f}_{4}}\left( x\right)\text{=}{{f}_{1}}\left( x\right)\text{=}\frac{2}{3}-\frac{3}{3x+1}\text{=}\frac{6x-7}{9x+3}$ 。因为 $1001\equiv 2\left( \bmod 3\right)\text{,}{{f}_{1001}}\left( x \right)\text{=}{{f}_{2}}\left( x\right)\text{=}\frac{3x+7}{6-9x}$ 。令 $\frac{3x+7}{6-9x}\text{=}x-3\Rightarrow x\text{=}\frac{5}{3}$ 。故所求值为 $5+3\text{=}008$
答案
解析
备注
