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纸做的等边三角形 $\Delta ABC$ 边长为 $12$ 。将三角形折叠使得 $A$ 落在 $BC$ 上，距离 $B$ $9$ 的位置。折痕的长度可以表示为 $\frac{m\sqrt{p}}{n}$，其中 $m\text{,}n$ 为互质正整数，$p$ 为没有平方因子的正整数。求 $m+n+p$
【难度】
【出处】
2013年第31届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
  • 题型
    >
    立体几何
    >
    折叠问题
  • 知识点
    >
    三角
    >
    解三角形
    >
    余弦定理
【答案】
113
【解析】
令 $P,Q$ 分别为 $AB,AC$ 上的折痕点。令 $D$ 为对折后 $A$ 在 $BC$ 上的重合点。设 $AP,AQ,PQ$ 边长分别为 $a\text{,}b\text{,}x$ 。则 $PD\text{=}a\text{,}QD\text{=}b\text{,}BP\text{=}12-a\text{,}CQ\text{=}12-b\text{,}BD\text{=}9,CD\text{=}3$ 。
在 $\Delta BPD$ 中，由余弦定理，$\begin{align}
&{{a}^{2}}\text{=}{{\left( 12-a\right)}^{2}}+{{9}^{2}}-2\times \left( 12-a \right)\times 9\times \cos{{60}^{{}^\circ }} \\
&\Rightarrow {{a}^{2}}\text{=}144-24a+{{a}^{2}}+81-108+9a \\
&\Rightarrow a\text{=}\frac{39}{5} \\
\end{align}$
在 $\Delta CQD$ 中，由余弦定理，$\begin{align}
& {{b}^{2}}\text{=}{{\left( 12-b\right)}^{2}}+{{3}^{2}}-2\times \left( 12-b \right)\times 3\times \cos{{60}^{{}^\circ }} \\
&\Rightarrow {{b}^{2}}\text{=}144-24b+{{b}^{2}}+9-36+3b \\
&\Rightarrow b\text{=}\frac{39}{7} \\
\end{align}$
在 $\Delta DPQ$ 中，由余弦定理，$\begin{align}
&{{x}^{2}}\text{=}{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2ab\cos {{60}^{{}^\circ }} \\
&\Rightarrow {{x}^{2}}\text{=}{{\left( \frac{39}{5} \right)}^{2}}+{{\left(\frac{39}{7} \right)}^{2}}-\left( \frac{39}{5}\times \frac{39}{7} \right) \\
&\Rightarrow x\text{=}\frac{39\sqrt{39}}{35} \\
\end{align}$
故所求答案为 $39+39+35\text{=}113$
答案 解析 备注
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