函数 $f\left( x \right)\text{=}\arcsin \left( {{\log }_{m}}\left( nx \right) \right)$ 的定义域是长度为 $\frac{1}{2013}$ 的区间，其中 $m\text{,}n$ 为互质正整数，且 $m\text{}1$ 。求 $m+n$ 最小值模 $1000$ 的值
【难度】
【出处】
2013年第31届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
371
【解析】
$\arcsin $ 函数的定义域为 $\left[-1\text{,}1 \right]$，故 $-1\leqslant{{\log }_{m}}nx\leqslant 1$ 。 ${{m}^{-1}}\text{=}\frac{1}{m}\leqslant x\leqslant m\Rightarrow \frac{1}{mn}\leqslant x\leqslant \frac{m}{n}$，因为定义域区间长度为 $\frac{1}{2013}$，故 $\frac{m}{n}-\frac{1}{mn}\text{=}\frac{1}{2013}\Rightarrow\frac{{{m}^{2}}-1}{mn}\text{=}\frac{1}{2013}$ 。我们下面找出最小的 $m$ 使得在该数量关系下 $n$ 为整数。因为 $m\text{}1$，试令 $m\text{=}2\Rightarrow2n\text{=}3\cdot 2013\Rightarrow n\notin \mathbb{Z}$ 。试令 $m\text{=}3\Rightarrow3n\text{=}8\cdot 2013\Rightarrow n\text{=}5368$ 。故所求答案为 $5368+3\text{=}5371\equiv371\left( \bmod 1000 \right)$
答案
解析
备注
