$\Delta PQR$ 中，$\angle P\text{=}{{75}^{{}^\circ }}\text{,}\angle Q\text{=}{{60}^{{}^\circ }}$ 。边长为 $1$ 的正六边形 $ABCDEF$ 在 $\Delta PQR$ 内，其中 $AB$ 在 $PQ$ 上，$CD$ 在 $QR$ 上，且剩下的某一个顶点在 $RP$ 上。 $\Delta PQR$ 的面积可表示为 $\frac{a+b\sqrt{c}}{d}$，其中 $a\text{,}b\text{,}c\text{,}d$ 为正整数，$a\text{,}d$ 互质且 $c$ 不含平方因子。求 $a+b+c+d$
【难度】
【出处】
2013年第31届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
021
【解析】
不难发现 $\angle R\text{=}{{45}^{{}^\circ }}$ 。顺次连接 $ABCDEF$，作 $\Delta PQR$ 使得 $Q$ 与 $C,D$ 相邻。 $ABCDEF$ 的高为 $\sqrt{3}$，底边 $QR$ 长度为 $2+\sqrt{3}$ 。在坐标平面中，令 $RP$ 的直线方程 $y\text{=}x$，则 $PQ$ 的直线方程为 $y=-\sqrt{3}\left( x-\left(2+\sqrt{3} \right) \right)\to y=-x\sqrt{3}+2\sqrt{3}+3$ 。联立两方程得到 $y\text{=}x\text{=}\frac{3+\sqrt{3}}{2}$ 。所以 $\Delta PQR$ 的面积为 $\frac{1}{2}*\left( 2+\sqrt{3} \right)*\frac{3+\sqrt{3}}{2}\text{=}\frac{5\sqrt{3}+9}{4}$，$a+b+c+d\text{=}9+5+3+4\text{=}021$
答案
解析
备注
