实数 $x\text{,}y$ 满足 $\frac{\sin x}{\sin y}\text{=}3\text{,}\frac{\operatorname{cosx}}{\cos y}\text{=}\frac{1}{2}$ 。 $\frac{\sin 2x}{\sin 2y}+\frac{\cos 2x}{\cos 2y}$ 可表示为 $\frac{p}{q}$ 其中 $p\text{,}q$ 为互质正整数。求 $p+q$ 。
【难度】
【出处】
2012年第30届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
107
【解析】
$\sin2\theta \text{=2sin}\theta \text{cos}\theta \text{,}\frac{\sin 2x}{\sin 2y}\text{=}\frac{2\sin x\cos x}{2\sin y\cos y}\text{=}\frac{\sin x}{\sin y}\cdot \frac{\cos x}{\cos y}\text{=}3\cdot \frac{1}{2}\text{=}\frac{3}{2}$ 。因为 $\frac{\sin x}{\sin y}\text{=}3\to \sin x\text{=}3\sin y\text{,}\frac{\cos x}{\cos y}\text{=}\frac{1}{2}\to \cos x\text{=}\frac{1}{2}\cos y$ 。上述两式等号左右平方后可得，$1\text{=}9{{\sin}^{2}}y+\frac{1}{4}{{\cos }^{2}}y$ 。又因为 ${{\cos }^{2}}y+{{\sin }^{2}}y\text{=}1\text{,}{{\sin}^{2}}y\text{=}\frac{3}{35}\text{,}{{\sin }^{2}}x\text{=}\frac{27}{35}$ 。 $\cos 2x\text{=}1-2{{\sin}^{2}}x\text{=}-\frac{19}{35}$，$\cos 2y\text{=}1-2{{\sin}^{2}}y\text{=}\frac{29}{35}$，从而 $\frac{\cos 2x}{\cos 2y}\text{=}-\frac{19}{29}$，$\frac{\sin2x}{\sin 2y}+\frac{\cos 2x}{\cos 2y}\text{=}\frac{3}{2}+\left( -\frac{19}{29}\right)\text{=}\frac{49}{58}$，所求值为 $49+58\text{=}107$
答案
解析
备注
