数学小姐幼儿园班里有 $16$ 名注册的学生。教室里有 $N$（$N$ 充分大）的玩具积木满足如下条件：（a）如果班里来了 $16,15$ 或 $14$ 名学生，积木都可以满足平均分给每个学生（b）存在三个正整数 $0<x<y<z<14$ 满足当 $x\text{,}y$ 或 $z$ 名学生在教室时，刨去 $3$ 块积木后每个学生手中可分到相同数目的积木
求 $N$ 所有不同素因子之和
求 $N$ 所有不同素因子之和
【难度】
【出处】
2013年第31届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
148
【解析】
$N$ 必须能被 $14,15,16$ 最小公倍数 $k\text{=}{{2}^{4}}\cdot3\cdot 5\cdot 7$ 整除，即 $N\text{=}qk\text{,}q\in\mathbb{N}$ 。因为 $k$ 能被 $1\text{,}2\text{,}3\text{,}4\text{,}5\text{,}6\text{,}7\text{,}8\text{,}10\text{,}12$ 整除，所以 $x\text{,}y\text{,}z\text{=}9\text{,}11\text{,}13$ 。我们可以建立如下等式：$\begin{align}
& qk\equiv 3\left( \bmod 9 \right) \\
& qk\equiv 3\left( \bmod 11 \right) \\
& qk\equiv 3\left( \bmod 13 \right) \\
\end{align}$，故 $qk$ 必然形如 $9\cdot11\cdot 13\cdot m+3\text{,}m\in \mathbb{N}$，所以有 $q\text{=}\left(9\cdot 11\cdot 13\cdot m+3 \right)\text{/k=}\left( 9\cdot 11\cdot 13\cdot m+3\right)/{{2}^{4}}\cdot \text{3}\cdot \text{5}\cdot \text{7=}\left( 429m+1\right)\text{/560}\in \mathbb{N}$，$429m+1\text{=}560q$ 可求出 $m\text{,}q$ 最小值为 $171\text{,}131$ 。故所求值为 $2+3+5+7+131\text{=}148$
& qk\equiv 3\left( \bmod 9 \right) \\
& qk\equiv 3\left( \bmod 11 \right) \\
& qk\equiv 3\left( \bmod 13 \right) \\
\end{align}$，故 $qk$ 必然形如 $9\cdot11\cdot 13\cdot m+3\text{,}m\in \mathbb{N}$，所以有 $q\text{=}\left(9\cdot 11\cdot 13\cdot m+3 \right)\text{/k=}\left( 9\cdot 11\cdot 13\cdot m+3\right)/{{2}^{4}}\cdot \text{3}\cdot \text{5}\cdot \text{7=}\left( 429m+1\right)\text{/560}\in \mathbb{N}$，$429m+1\text{=}560q$ 可求出 $m\text{,}q$ 最小值为 $171\text{,}131$ 。故所求值为 $2+3+5+7+131\text{=}148$
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