$N$ 为满足下述条件的有序三元数组 $\left( A,B,C \right)$ 的个数。（a）$0\leqslant A<B<C\leqslant 99$，（b）存在整数 $a\text{,}b\text{,}c$ 和质数 $p$ 满足 $0\leqslant b\text{}a\text{}c\text{}p$，（c）$p$ 整除 $A-a\text{,}B-b\text{,}C-c$，（d）$\left( A\text{,}B\text{,}C \right)\left( b\text{,}a\text{,}c \right)$ 构成等差数列。求 $N$
【难度】
【出处】
2013年第31届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
272
【解析】
根据条件（d），$\left( A,B,C \right)=\left( B-D,B,B+D \right)$ 和 $\left(b\text{,}a\text{,}c \right)\text{=}\left( a-d\text{,}a\text{,}a+d \right)$ 。根据条件（c），$p|B-D-a\text{,}p|B-a+d\text{,}p|B+D-a-d$ 。于是得到 $p|-d-D\text{,}p|2d-D$，再将这两式相减得到 $p|3d$ 。因此有 $p|3$ 或 $p|d$ 。后者显然是不成立的，因为这将使得 $c\text{=}a+d\text{}p$，与条件（b）矛盾。所以我们有 $p|3$ 。条件（b）蕴含 $\left( b\text{,}a\text{,}c \right)\text{=}\left( 0\text{,}1\text{,}2\right)$ 或 $\left( a\text{,}b\text{,}c \right)\in \left( 1\text{,}0\text{,}2\right)\to \left( -2\text{,}0\text{,}2 \right)\left( D\equiv 2\bmod 3 \right)$ 。再根据条件（c），$\left(A,B,C \right)\equiv \left( -2,0,2 \right)\left( \bmod 3 \right)$ 。我们依次令 $B\text{=}3k\text{,}k\text{=}0\text{,}1\text{,}2\cdots$ 。 $B\text{=}0$ 是没有解；$B\text{=}3$ 时有 $\left( A,B,C \right)\text{=}\left(1\text{,}3\text{,}5 \right)$；$B\text{=}6$ 时有两个解 $\left( 4\text{,}6\text{,}8\right)$ 和 $\left( 1611 \right)$ 。依此类推，$B\text{=}48$ 时有 $16$ 个解，$B\text{=}51$ 时仍有 $16$ 个解因为 ${{C}_{\max}}\text{=}2B-1\text{=}101\text{}100$ 。同理，$B\text{=}54$ 时有 $15$ 个解。根据此规律可知 $B\text{=}96$ 时仅有 $1$ 个解，而 $B\text{=}9$ 时没有解。故综上我们可以得到 $N\text{=}1+2+\cdots+16+16+15+\cdots +1\text{=}272$
答案
解析
备注
