三角形 $ABC$ 内接于圆 $\omega $，且 $AB=5,BC=7,AC=3$ 。 $\angle A$ 的角平分线与 $BC$ 相交于 $D$，与 $\omega $ 相交于 $E$ 。令 $\gamma $ 为以 $DE$ 为直径的圆。 $\omega \text{,}\gamma $ 的交点为 $E$ 和另一点 $F$ 。记 $A{{F}^{2}}=\frac{m}{n}$，$m\text{,}n$ 互质正整数。求 $m+n$ 。
【难度】
【出处】
2012年第30届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
919
【解析】
由角平分线定理，$CD=\frac{21}{8},BD=\frac{35}{8}$ 由斯特瓦尔特定理，$AD=\frac{15}{8},DE=\frac{49}{8},AE=8$ 。由余弦定理，$\angle CAD=\frac{\pi }{3}$，故 $\angle BAD=\frac{\pi }{3}$，从而 $\triangle BCE$ 为等边三角形，$BC=CE=BE=7$ 。由余弦定理，$A{{E}^{2}}=A{{F}^{2}}+E{{F}^{2}}-2\cdot AF\cdot EF\cdot \cos \angle AFE\left( 1 \right)$，$A{{F}^{2}}=A{{E}^{2}}+E{{F}^{2}}-2\cdot AE\cdot EF\cdot \cos \angle AEF$，将两式相加化简得 $EF=AF\cdot \cos\angle AFE+AE\cdot \cos \angle AEF\left( 2 \right)$，因为 $\angle AFE=\angle ACE$，从而由 $A{{E}^{2}}=A{{C}^{2}}+C{{E}^{2}}-2\cdot AC\cdot CE\cdot \cos \angle ACE,AE=8,AC=3,BE=BC=7$，$\cos \angle ACE=-1/7=\cos \angle AFE$ 。又因为 $\angle AEF=\angle DEF,\angle DFE=\frac{\pi}{2}$，所以 $\cos \angle AEF=EF/DE=8\cdot EF/49$ 。将所得各数值代入 $\left( 2 \right)$ 式，$EF=-\frac{AF}{7}+8\cdot \frac{8EF}{49}=\frac{7}{15}\cdot AF$，将此式代入 $\left( 1 \right)$ 式，${{8}^{2}}=A{{F}^{2}}+\frac{49}{225}\cdot A{{F}^{2}}-2\cdot AF\cdot\frac{7AF}{15}\cdot \frac{-1}{7}$，$A{{F}^{2}}=\frac{900}{19}$，故所求值为 $919$
答案
解析
备注
