一个矩形盒子长 $12$ 英寸，宽 $16$ 英寸，高 $\frac{m}{n}$，其中 $m\text{,}n$ 为互质正整数。盒子的三个面相交于盒子的一角。以这三个面的中心为顶点构成的三角形面积为 $30$ 平方英寸。求 $m+n$
【难度】
【出处】
2013年第31届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
041
【解析】
设盒子高为 $x$ 。由毕达哥拉斯定理易知三角形边长为 $10\text{,}\sqrt{{{\left(\frac{x}{2} \right)}^{2}}+64}\text{,}\sqrt{{{\left( \frac{x}{2}\right)}^{2}}+36}$ 。因为三角形面积为 $30$，所以边长为 $10$ 的底边对应高为 $6$ 。再对高分成的两个直角三角形用毕达哥拉斯定理，$10\text{=}\sqrt{\left(28+\frac{{{x}^{2}}}{4} \right)}+\frac{x}{2}\to x\text{=}\frac{36}{5}\text{,}m\text{=}36\text{,}n\text{=}5\to m+n\text{=}041$
答案
解析
备注
