求 $1000$ 以内满足下述条件的正整数 $n$ 的个数。对于 $n$，存在正实数 $x$，使得 $n\text{=}x\left[ x \right]$ 。（注：$\left[ x \right]$ 为不超过 $x$ 的最大整数）
【难度】
【出处】
2012年第30届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
496
【解析】
易知 $x$ 为有理数。令 $x\text{=}a+\frac{b}{c}\text{,}a\geqslant 0\text{,}0\leqslant b\text{}c$，则 $n\text{=}\left( a+\frac{b}{c}\right)\left[ a+\frac{b}{c} \right]\Rightarrow n\text{=}\left( a+\frac{b}{c}\right)a\text{=}{{a}^{2}}+\frac{ab}{c}$，所以只需 $\frac{ab}{c}$ 为整数即可。 $a\text{=}0\Rightarrow $ 无解；$a\text{=}1\Rightarrow\frac{b}{c}\text{=}\frac{0}{1}\text{;}a\text{=}2\Rightarrow\frac{b}{c}\text{=}\frac{0}{2}\text{,}\frac{1}{2}\text{;}a\text{=}3\Rightarrow\frac{b}{c}\text{=}\frac{0}{3}\text{,}\frac{1}{3}\text{,}\frac{2}{3}\text{;}\cdots$ 依此分情况直到 $a\text{=}31$ 。当 $a\text{=32,n1000}$；当 $a\text{=}31$，$x$ 最大值为 $31+30/31$ 且 $n\text{}1000$ 。所以满需条件的正整数 $n$ 有 $1+2+3+\cdots +31\text{=}496$ 个
答案
解析
备注
