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$\odot O$ 半径5，弦 $AB$ 长 $30$，弦 $CD$ 长 $14$，且 $AB,CD$ 相交于 $P$ 。两弦中点距离为 $12$ 。 $O{{P}^{2}}=\frac{m}{n}$，其中 $m\text{,}n$ 为互质正整数。求 $m+n$ 模 $1000$ 的值。
【难度】
【出处】
2011年第29届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
  • 知识点
    >
    三角
    >
    解三角形
    >
    余弦定理
  • 知识点
    >
    数论初步
【答案】
057
【解析】
令 $E,F$ 分别为 $AB,CD$ 中点，$BE,CF$ 相交。因为 $E,F$ 为中点，所以 $BE=15,CF=7$ 。因为 $B,C$ 在圆周上，所以 $OB=OC=25$ 。 $\Delta OEB,\Delta OFC$ 为直角三角形，由毕达哥拉斯定理 $OE=\sqrt{{{25}^{2}}-{{15}^{2}}}\text{=}20\text{,}OF\text{=}\sqrt{{{25}^{2}}-{{7}^{2}}}\text{=}24$ 。设 $x\text{,}a\text{,b}$ 分别为 $OP,EP,FP$ 的长度。于是有 ${{x}^{2}}\text{=}{{a}^{2}}+{{20}^{2}}\to{{a}^{2}}\text{=}{{x}^{2}}-400\text{,}{{x}^{2}}\text{=}{{b}^{2}}+{{24}^{2}}\to{{b}^{2}}\text{=}{{x}^{2}}-576$，在 $\Delta EPF$ 中，$EF=12$，根据余弦定理 ${{12}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2ab\cos \left( \angle EPF \right)\text{=}{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2ab\cos \left( \angle EPO+\angle FPO\right)$，将 $a\text{,}b$ 用 $x$ 替换，于是 $\begin{align}
& 144\text{=}\left( {{x}^{2}}-400\right)+\left( {{x}^{2}}-576\right)-2\sqrt{{{x}^{2}}-400}\sqrt{{{x}^{2}}-576}\left( \cos \angle EPO\cos\angle FPO-\sin \angle EPO\sin \angle FPO \right) \\
& 144\text{=}2{{x}^{2}}-976-2\sqrt{\left({{x}^{2}}-400 \right)\left( {{x}^{2}}-576 \right)}\left(\frac{\sqrt{{{x}^{2}}-400}}{x}\frac{\sqrt{{{x}^{2}}-576}}{x}-\frac{20}{x}\frac{24}{x}\right) \\
&144{{x}^{2}}\text{=}2{{x}^{2}}-976{{x}^{2}}-2\left( {{x}^{2}}-400 \right)\left({{x}^{2}}-576 \right)+960\sqrt{\left( {{x}^{2}}-400 \right)\left( {{x}^{2}}-576\right)} \\
&13{{x}^{2}}\text{=}7200-15\sqrt{{{x}^{4}}-976{{x}^{2}}+230400} \\
&169{{x}^{4}}-187000{{x}^{2}}+51840000\text{=}225{{x}^{4}}-219600{{x}^{2}}+51840000\\
&{{x}^{2}}\text{=}\frac{4050}{7}\text{=}{{\left( OP\right)}^{2}}\text{;}4050+7\equiv 057\left( \bmod 1000 \right) \\
\end{align}$
答案 解析 备注
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