凸 $18$ 边形的内角角度构成了整数等差数列。求最小内角的度数。
【难度】
【出处】
2011年第29届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
143
【解析】
$18$ 边形内角的平均度数为 ${{160}^{{}^\circ }}$ 。等差数列的代数平均值和中位数的数值相等，于是内角度数从小到大排成一列，第九项第十项可分别记为 ${{\left( 160\text{-}d \right)}^{{}^\circ}}\text{,}{{\left( 160+d \right)}^{{}^\circ }}$ 。从而该数列公差为 $2d$，末项为 ${{\left( 160+17d \right)}^{{}^\circ }}$ 。因为该多边形为凸多边形，所以 $160+17d\text{}180$ 。所以唯一满足条件的正整数 $d$ 为 $1$ 。所以
首项为 ${{\left( 160\text{-}17 \right)}^{{}^\circ}}\text{=143}$
首项为 ${{\left( 160\text{-}17 \right)}^{{}^\circ}}\text{=143}$
答案
解析
备注
