爱德有 $5$ 块相同的绿色大理石和大量相同的红色大理石。将绿色和红色的大理石排成一排后，他发现与自己右侧相邻石子颜色相同的大理石和与自己右侧相邻石子颜色不同的大理石个数相同。例如，排列方式为 绿绿红红红绿绿红绿 既满足条件。记 $m$ 为存在满足条件的排列方式的红大理石数目的最大值，并记 $N$ 为 $m+5$ 块大理石构成的满足条件的排列方式的个数。求 $N$ 模 $1000$ 的值。
【难度】
【出处】
2011年第29届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
003
【解析】
我们将每个绿棋子的左右都放上红棋子，从而得到 $RGRGRGRGRG$，这样的得到了 $10$ 个“不同颜色”对和 $0$ 个“相同颜色”对。此时每加入 $1$ 枚红色棋子，我们就增加 $1$ 个“相同颜色”对而不改变“不同颜色”对的个数，因而我们可以再加入 $10$ 枚红色棋子从而 $m\text{=}16$ 。对于加入的 $10$ 枚红色棋子，我们可以将它们放到 $6$ 个“盒子”中：第一个绿棋子的左侧，第一二个绿棋子之间，第二三个绿棋子之间，依此类推。由隔板定理，所有排列方式共有 $C_{\text{15}}^{\text{5}}\text{=}3003$ 个，从而模 $1000$ 的值为 $003$
答案
解析
备注
