令 ${{z}_{1}}\text{,}{{z}_{2}}\text{,}{{z}_{3}}\text{,}\cdots \text{,}{{z}_{12}}$ 为多项式 ${{z}^{12}}-{{2}^{36}}$ 的12个根。对于每一个 $j$，令 ${{w}_{j}}$ 取值 ${{z}_{j}}$ 或 $i{{z}_{j}}$ 。这时 $\displaystyle \sum\limits_{j\text{=}1}^{12}{{{w}_{j}}}$ 实部的最大值可以写作 $m+\sqrt{n}$，其中 $m\text{,}n$ 为正整数。求 $m+n$ 。
【难度】
【出处】
2011年第29届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
784
【解析】
如图所示，$12$ 个点分别为方程 ${{z}^{12}}-{{2}^{36}}\text{=}0$ 。记 $z\text{=}a+bi$，则 $z$ 的实部为 $a$，$iz$ 的实部为 $\text{-}b$ 。蓝点表示所有 $iz$ 实部大于 $z$ 实部的点，红点则相反。蓝点实部之和为 $8+16\cos \frac{\pi}{6}\text{=}8+8\sqrt{3}$，红点虚部之和的相反数同样为 $8+8\sqrt{3}$ 。所以我们所求的和为 $16+16\sqrt{3}\text{=}16+\sqrt{768}$，所以所求答案为 $784$
答案
解析
备注
