$P\left( x \right)\text{=}{{x}^{2}}-3x-9$，实数 $x$ 从区间 $5\leqslant x\leqslant 15$ 随机选取。 $\left[ \sqrt{P\left( x \right)} \right]\text{=}\sqrt{P\left( \left[ x \right] \right)}$ 的概率等于 $\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}-d}{e}$，其中 $a\text{,}b\text{,}c\text{,}d\text{,}e$ 为正整数且没有平方因子。求 $a+b+c+d$ 。
【难度】
【出处】
2011年第29届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
850
【解析】
$\begin{align}
& P\left( 5 \right)=1,P\left( 6\right)=9,P\left( 7 \right)=19,P\left( 8 \right)=31,P\left( 9\right)=45,P\left( 10 \right)=61, \\
& P\left( 11 \right)=79,P\left( 12\right)=99,P\left( 13 \right)=121,P\left( 14 \right)=145,P\left( 15 \right)=171\\
\end{align}$ 为使 $\left[ \sqrt{P\left( x \right)}\right]\text{=}\sqrt{P\left( \left[ x \right] \right)}$ 成立，$\sqrt{P\left( \left[ x \right] \right)}$ 必须为整数，故 $P\left( \left[ x \right] \right)$ 必须为完全平方数。由上述 $P\left( x \right)$ 的取值表知，$5\leqslant x\text{}6$ 或 $6\leqslant x\text{}7$ 或 $13\leqslant x\text{}14$ 。我们下面分三类情况讨论：
（1）$5\leqslant x<6$，则 ${{1}^{2}}\leqslant P\left( x\right)\text{}{{2}^{2}}\text{=}4$ 。因为 $P\left( x \right)$ 在 $x\geqslant 5$ 时单调递增，我们设 $P\left( v \right)\text{=}4\left( v\geqslant 5\right)$，则 $5\leqslant x<v$ 。 ${{v}^{2}}-3v-9\text{=}4\text{,}v\text{=}\frac{3+\sqrt{61}}{2}$
（2）$6\leqslant x<7$，则 $9\leqslant P\left( x \right)<16$，设 $P\left( v \right)=16\left( v\geqslant 6 \right)$，则 $6\leqslant x<v$ 。 ${{v}^{2}}-3v-9=16,v=\frac{3+\sqrt{109}}{2}$
（3）$13\leqslant x<14$，则 $\text{121}\leqslant P\left( x \right)<144$，设 $P\left( v \right)=1\text{44}\left( v\geqslant\text{13} \right)$，则 $\text{13}\leqslant x<v$ 。 ${{v}^{2}}-3v-9=1\text{44},v=\frac{3+\sqrt{\text{621}}}{2}$
所以 $\frac{\left(\frac{\text{3+}\sqrt{\text{61}}}{\text{2}}\text{-5} \right)\text{+}\left(\frac{\text{3+}\sqrt{\text{109}}}{\text{2}}\text{-6} \right)\text{+}\left(\frac{\text{3+}\sqrt{\text{621}}}{\text{2}}\text{-13}\right)}{\text{10}}\text{=}\frac{\sqrt{\text{61}}\text{+}\sqrt{\text{109}}\text{+}\sqrt{\text{621}}\text{-39}}{\text{20}}$，所求答案为 $\text{61+109+621+39+20=850}$
& P\left( 5 \right)=1,P\left( 6\right)=9,P\left( 7 \right)=19,P\left( 8 \right)=31,P\left( 9\right)=45,P\left( 10 \right)=61, \\
& P\left( 11 \right)=79,P\left( 12\right)=99,P\left( 13 \right)=121,P\left( 14 \right)=145,P\left( 15 \right)=171\\
\end{align}$ 为使 $\left[ \sqrt{P\left( x \right)}\right]\text{=}\sqrt{P\left( \left[ x \right] \right)}$ 成立，$\sqrt{P\left( \left[ x \right] \right)}$ 必须为整数，故 $P\left( \left[ x \right] \right)$ 必须为完全平方数。由上述 $P\left( x \right)$ 的取值表知，$5\leqslant x\text{}6$ 或 $6\leqslant x\text{}7$ 或 $13\leqslant x\text{}14$ 。我们下面分三类情况讨论：
（1）$5\leqslant x<6$，则 ${{1}^{2}}\leqslant P\left( x\right)\text{}{{2}^{2}}\text{=}4$ 。因为 $P\left( x \right)$ 在 $x\geqslant 5$ 时单调递增，我们设 $P\left( v \right)\text{=}4\left( v\geqslant 5\right)$，则 $5\leqslant x<v$ 。 ${{v}^{2}}-3v-9\text{=}4\text{,}v\text{=}\frac{3+\sqrt{61}}{2}$
（2）$6\leqslant x<7$，则 $9\leqslant P\left( x \right)<16$，设 $P\left( v \right)=16\left( v\geqslant 6 \right)$，则 $6\leqslant x<v$ 。 ${{v}^{2}}-3v-9=16,v=\frac{3+\sqrt{109}}{2}$
（3）$13\leqslant x<14$，则 $\text{121}\leqslant P\left( x \right)<144$，设 $P\left( v \right)=1\text{44}\left( v\geqslant\text{13} \right)$，则 $\text{13}\leqslant x<v$ 。 ${{v}^{2}}-3v-9=1\text{44},v=\frac{3+\sqrt{\text{621}}}{2}$
所以 $\frac{\left(\frac{\text{3+}\sqrt{\text{61}}}{\text{2}}\text{-5} \right)\text{+}\left(\frac{\text{3+}\sqrt{\text{109}}}{\text{2}}\text{-6} \right)\text{+}\left(\frac{\text{3+}\sqrt{\text{621}}}{\text{2}}\text{-13}\right)}{\text{10}}\text{=}\frac{\sqrt{\text{61}}\text{+}\sqrt{\text{109}}\text{+}\sqrt{\text{621}}\text{-39}}{\text{20}}$，所求答案为 $\text{61+109+621+39+20=850}$
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解析
备注
