称有序四元数组 $\left( a\text{,}b\text{,}c\text{,}d \right)$ 为有趣的，如果 $1\leqslant a\text{}b\text{}c\leqslant 10$，且 $a+d\text{}b+c$ 。求有趣的四元数组的个数。
【难度】
【出处】
2011年第29届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
080
【解析】
原不等式等价变形可得 $d\text{-}c\text{}b\text{-}a$ 。令 $e\text{=}11$，$\left(a\text{,}b\text{-}a\text{,}c\text{-}b\text{,}d\text{-}c\text{,}e\text{-}d\right)$ 是将 $11$ 分拆为 $5$ 个正整数之和的组合。由隔板定理，这样的分拆数为 $\left( \begin{matrix}
6+4 \\
4 \\
\end{matrix}\right)\text{=}\left( \begin{matrix}10 \\
4 \\
\end{matrix}\right)\text{=}210$ 。与每个分割对应的四元数组中，第二项小于第四项的和第四项小于第二项的一样多。所以，若 $N$ 为二四项相等的分割个数，则我们所求的答案为 $\frac{\left( 210-N \right)}{2}$ 。 $N$ 可视为以下四部分之和：
二四项均为 $0,\left(\begin{matrix}
8 \\
2 \\
\end{matrix}\right)=28$
二四项均为 $1,\left(\begin{matrix}
6 \\
2 \\
\end{matrix}\right)=15$
二四项均为 $2,\left(\begin{matrix}
4 \\
2 \\
\end{matrix}\right)=6$
二四项均为 $3,\left(\begin{matrix}
2 \\
2 \\
\end{matrix}\right)=1$
因此，$N=28+15+6+1=50$，于是 $\frac{\left( 210-50 \right)}{2}=080$
6+4 \\
4 \\
\end{matrix}\right)\text{=}\left( \begin{matrix}10 \\
4 \\
\end{matrix}\right)\text{=}210$ 。与每个分割对应的四元数组中，第二项小于第四项的和第四项小于第二项的一样多。所以，若 $N$ 为二四项相等的分割个数，则我们所求的答案为 $\frac{\left( 210-N \right)}{2}$ 。 $N$ 可视为以下四部分之和：
二四项均为 $0,\left(\begin{matrix}
8 \\
2 \\
\end{matrix}\right)=28$
二四项均为 $1,\left(\begin{matrix}
6 \\
2 \\
\end{matrix}\right)=15$
二四项均为 $2,\left(\begin{matrix}
4 \\
2 \\
\end{matrix}\right)=6$
二四项均为 $3,\left(\begin{matrix}
2 \\
2 \\
\end{matrix}\right)=1$
因此，$N=28+15+6+1=50$，于是 $\frac{\left( 210-50 \right)}{2}=080$
答案
解析
备注
