点 $P$ 在正方形 $\square ABCD$ 对角线 $AC$ 上，满足 $AP>CP$ 。 ${{O}_{1}},{{O}_{2}}$ 分别为 $\Delta ABP,\Delta CDP$ 外接圆圆心。已知 $AB=12,\angle {{O}_{1}}P{{O}_{2}}={{120}^{\circ }}$，记 $AP=\sqrt{a}+\sqrt{b}$，其中 $a\text{,}b$ 为互质正整数。求 $a+b$ 。
【难度】
【出处】
2011年第29届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
096
【解析】
记 $DC$ 中点为 $E$，$AB$ 中点为 $F$ 。 $\angle {{O}_{1}}P{{O}_{2}}={{120}^{{}^\circ }}$ 。因为 ${{O}_{1}}P,{{O}_{1}}B$ 都是圆的半径，所以 ${{O}_{1}}P={{O}_{1}}B$ 。同理 ${{O}_{2}}P={{O}_{2}}D$ 。因为 $m\angle CAB\text{=}m\angle ACD\text{=}{{45}^{{}^\circ }}$，所以 ${{O}_{1}}PB,{{O}_{2}}PD$ 是等腰直角三角形。由条件和对称性知 $m\angle DPB\text{=}{{120}^{{}^\circ }}$ 。由条件易知 $\Delta ABP,\Delta ADP$ 全等，同理 $\Delta CPB,\Delta CPD$ 全等，且 $\angle APB=\angle APD={{60}^{{}^\circ}},\angle CPB=\angle CPD={{120}^{{}^\circ }}$ 。因为 $\angle ABP={{75}^{{}^\circ }},\angle PDC={{15}^{{}^\circ }}$，所以 $\angle {{O}_{1}}BF=\angle {{O}_{2}}DE={{30}^{{}^\circ}}$ 。因为 $F,E$ 是 $AB,CD$ 中点，$FB=DE=6$ 。因此 $D{{O}_{2}}=B{{O}_{1}}=4\sqrt{3}$ 。由等腰直角三角形的性质，$PB=PD=4\sqrt{6}$ 。令 $x=AP$，由余弦定理，$\Delta ABP$ 中，$\text{96=144+}{{x}^{2}}-24x\frac{\sqrt{2}}{2}={{x}^{2}}-12\sqrt{2}x+48,x=\sqrt{72}\pm\sqrt{24}$，所以所求答案为 $\text{096}$
答案
解析
备注
