现有三个不同国家，每个国家三人共九名代表。他们随机坐在圆桌的九个座位。记每个代表至少与一名来自不同国家代表相邻的概率为 $\frac{m}{n}$，其中 $m\text{,}n$ 为互质正整数。求 $m+n$ 。
【难度】
【出处】
2011年第29届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
097
【解析】
如果我们假设同一国家的代表是没有区别的并且给所有座椅编号，则一共有 $\frac{9}{{{\left( 3\text{!}\right)}^{3}}}\text{=}\frac{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4}{6\cdot6}\text{=}1680$ 种为代表排座位的方式。在这些排列方式中，满足至少有一个国家的一些代表坐在一起排列数有 $3\times 9\times \frac{6}{{{\left( 3\right)}^{2}}}\text{=}540$ 种。在这些排列中有 $3\times 9\times 4\text{=}108$ 种满足有两个国家代表坐在一起。最后，其中有 $9\times 2\text{=}18$ 种方式使得所有代表分坐 $3$ 组（其中 $9$ 个顺时针排列，$9$ 个逆时针排列）。所以不满足条件的排列数为 $540-108+18\text{=}450$ 。所以 $\frac{m}{n}\text{=}\frac{1680\text{-}450}{1680}\text{=}\frac{41}{56}\text{,}m+n\text{=}097$
答案
解析
备注
