令 ${{x}_{1}}\text{,}{{x}_{2}}\text{,}\cdots \text{,}{{x}_{6}}$ 为非负实数，满足 ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+\cdots +{{x}_{6}}\text{=}1$ 且 ${{x}_{1}}{{x}_{3}}{{x}_{5}}+{{x}_{2}}{{x}_{4}}{{x}_{6}}\geqslant \frac{1}{540}$ 。 ${{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}+{{x}_{2}}{{x}_{3}}{{x}_{4}}+{{x}_{3}}{{x}_{4}}{{x}_{5}}+{{x}_{4}}{{x}_{5}}{{x}_{6}}+{{x}_{5}}{{x}_{6}}{{x}_{1}}+{{x}_{6}}{{x}_{1}}{{x}_{2}}$ 最大值为 $\frac{p}{q}$，其中 $p\text{,}q$ 为互质正整数。求 $p+q$ 。
【难度】
【出处】
2011年第29届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
559
【解析】
我们将条件和所求目标式作如下变形 ${{x}_{1}}\left( {{x}_{3}}{{x}_{5}}\right)+{{x}_{4}}\left( {{x}_{2}}{{x}_{6}} \right)\geqslant \frac{1}{540}$，${{x}_{1}}\left( {{x}_{2}}{{x}_{3}}+{{x}_{5}}{{x}_{6}}+{{x}_{6}}{{x}_{2}}\right)+{{x}_{4}}\left({{x}_{2}}{{x}_{3}}+{{x}_{5}}{{x}_{6}}+{{x}_{3}}{{x}_{5}} \right)$，将不等式左侧多项式加到目标多项式得到 $\left( {{x}_{1}}+{{x}_{4}} \right)\left({{x}_{2}}{{x}_{3}}+{{x}_{5}}{{x}_{6}}+{{x}_{6}}{{x}_{2}}+{{x}_{3}}{{x}_{5}}\right)\text{=}\left( {{x}_{1}}+{{x}_{4}} \right)\left( {{x}_{2}}+{{x}_{5}}\right)\left( {{x}_{3}}+{{x}_{6}} \right)$ 。等式右侧由均值不等式知最大值为 $\frac{1}{27}$ 。所以目标式最大值不超过 $\frac{1}{27}-\frac{1}{540}\text{=}\frac{19}{540}$，若要不等式达到取等条件，则 ${{x}_{1}}+{{x}_{4}}\text{=}{{x}_{2}}+{{x}_{5}}\text{=}{{x}_{3}}+{{x}_{6}}\text{=}\frac{1}{3}$ 。我们令 ${{x}_{3}}\text{=}{{x}_{6}}\text{=}\frac{1}{6}\text{,}{{x}_{1}}\text{=}{{x}_{2}}\text{=}\frac{5-\sqrt{20}}{30}\text{,}{{x}_{5}}\text{=}{{x}_{4}}\text{=}\frac{5+\sqrt{20}}{30}$ 既满足条件（不唯一），故我们所求答案为 $540+19\text{=}559$
答案
解析
备注
