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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
21058 5c6bab78210b281db9f4c8a2 高中 解答题 自招竞赛 设 $r$ 实数，且 $\left[ r+\frac{19}{100} \right]+\left[ r+\frac{20}{100} \right]+\cdots +\left[ r+\frac{91}{100} \right]=546$．试求 $\left[ 100r \right]$（对于实数 $x$，$\left[ x \right]$ 表示不大于 $x$ 的最大整数）． 2022-04-17 20:29:05
21057 5c6bab86210b281db9f4c8a8 高中 解答题 自招竞赛 试求 ${{A}^{2}}$，其中 $A$ 是方程 $x=\sqrt{19}+\frac{91}{\sqrt{19}+\frac{91}{\sqrt{19}+\frac{19}{\sqrt{19}+\frac{19}{\sqrt{19}+\frac{91}{x}}}}}$ 所有根的绝对值的和． 2022-04-17 20:29:05
21056 5c6bab90210b281db9f4c8ad 高中 解答题 自招竞赛 有多少个实数 $a$ 使二次方程 ${{x}^{2}}+ax+6a=0$ 仅有整数根． 2022-04-17 20:29:05
21055 5c6babb7210b281db9f4c8b2 高中 解答题 自招竞赛 用电波发送两组字母串 $\text{aaa}$ 和bbb，每个字母串都是一个字母接一个字母地发送．由于设备的不完善，发送的六个字母中每一个被接收错的概率都是 $\frac{1}{3}$，应该是b却接收为 $\text{a}$，应该为a却接收为 $\text{b}$．然而每个字母接收的正确与否都不受其他字母接收情况的影响．设 ${{S}_{\text{a}}}$ 表示发送aaa时接收到的三个字母组成的字母串，${{S}_{\text{b}}}$ 表示发送bbb时接收到的三个字母组成的字母串．$P$ 表示按字典顺序 ${{S}_{\text{a}}}$ 先于 ${{S}_{\text{b}}}$ 的概率（例如，按字典顺序aab先于baa；aab先于aba，aba先于 $\text{abb}$ 等），那么当把 $P$ 表示成最简分数时，其分子是什么数？ 2022-04-17 20:28:05
21054 5c6babbf210b281db9f4c8b8 高中 解答题 自招竞赛 大小相同的12个圆盘按下述方式放置在半径为1的圆周 $C$ 上：它们将 $C$ 盖住，两两不重叠，从而每一个圆盘必和与之相邻的两个圆盘相切．圆盘的放置如图所示，已知这12个圆盘的面积之和能写成 $\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }\left( a-b\sqrt{c} \right)$ 之形式，其中 $a b c$ 都是正整数而 $c$ 不能被任何素数的平方整除，求 $a+b+c$． 2022-04-17 20:27:05
21053 5c6babc6210b281db9f4c8bd 高中 解答题 自招竞赛 菱形 $PQRS$ 内接于矩形 $ABCD$，其中 $P$，$Q$，$R$ 和 $S$ 分别是线段 $AB$，$BC$，$CD$ 和 $DA$ 的内点（非端点），已知 $PB=15$，$BQ=20$，$PR=30$，$QS=40$．设既约分数 $\frac{m}{n}$ 为 $ABCD$ 的周长，试求 $m+n$． 2022-04-17 20:26:05
21052 5c6babcc210b281db9f4c8c2 高中 解答题 自招竞赛 抽屉中装有红蓝两种短袜，总数不超过1991只，假设随机地取出两只短袜是同色的可能性恰好为 $\frac{1}{2}$，那么抽屉中红袜的最大可能数是多少才能与以上数据一致？ 2022-04-17 20:26:05
21051 5c6babe8210b281dbaa934c1 高中 解答题 自招竞赛 六边形内接于圆，其中五条边的长为81，第六条边记为 $AB$，长为31，求由 $A$ 引出的三条对角线的长度之和． 2022-04-17 20:25:05
21050 5c6b70cc210b281db9f4c875 高中 解答题 自招竞赛 某人观察到 $6!=8\cdot 9\cdot 10$，求最大的正整数 $n$，使得 $n!$ 能够表示成 $n-3$ 个连续正整数的乘积． 2022-04-17 20:25:05
21049 5c6b70d1210b281dbaa93496 高中 解答题 自招竞赛 一个正十二边形内接于半径为12的圆，这正十二边形所有的边和对角线的长度之和可以写成 $a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}+d\sqrt{6}$ 的形式，其中 $a$，$b$，$c$，$d$ 的形式，其中 $a$，$b$，$c$，$d$ 是正整数，求 $a+b+c+d$． 2022-04-17 20:24:05
21048 5c6b70d6210b281dbaa9349b 高中 解答题 自招竞赛 设 $T=\left\{ {{9}^{k}}|k ,0\leqslant k\leqslant 4000 \right\}$．已知 ${{9}^{4000}}$ 是3817位数且它的首位数字是9，则 $T$ 中有多少个数的首位数字是9？ 2022-04-17 20:24:05
21047 5c6b70dd210b281dbaa934a1 高中 解答题 自招竞赛 如图所示，在矩形 $ABCD$ 中，$AB=12\sqrt{3}$，$BC=13\sqrt{3}$．对角线 $AC$ 和 $BD$ 相交于 $P$，若将 $\vartriangle ABP$ 剪去，然后将线段 $AP$ 和 $BP$ 叠合，并沿着线段 $CP$ 和 $DP$ 折起来，得到一个三棱锥，它的四个面都是等腰三角形，求这个三棱锥的体积． 2022-04-17 20:23:05
21046 5c6bd28c210b281dbaa934d0 高中 解答题 自招竞赛 试求所有小于10，并且当写为最简分数时分母等于30的正有理数的和． 2022-04-17 20:23:05
21045 5c6bd29c210b281dbaa934d5 高中 解答题 自招竞赛 如果一个正整数的十进制表示中至少有两个数字，并且每个数字都比它右边的数字小，那么称它为“上升”的．这种“上升”的正整数共有多少个？ 2022-04-17 20:22:05
21044 5c6bd2b2210b281db9f4c8dc 高中 解答题 自招竞赛 一个网球选手是用她赢得的场数以她参赛的场数来计算“取胜比”的．在某个周末开始时，她的取胜比恰好是 $0.500$；而在这个周末她共赛了四场，胜三场和负一场；到周末结束时，她的取胜比超过 $0.503$．那么在这个周末开始前她所胜的场数的最大可能值是多少？ 2022-04-17 20:22:05
21043 5c6bd2bc210b281db9f4c8e1 高中 解答题 自招竞赛 在帕斯卡三角形中，每个位置的数都等于它上面两个数的和．这个三角形的最初几行是\[1\]\[1\qquad1\]\[1\qquad2\qquad1\]\[1\qquad3\qquad3\qquad1\]\[1\qquad4\qquad6\qquad4\qquad1\]\[1\qquad5\qquad10\qquad10\qquad5\qquad1\]\[1\qquad6\qquad15\qquad20\qquad15\qquad6\qquad1\]那么在帕斯卡三角形的哪一行中将有三个连续的位置上的数的比为 $3:4:5$？ 2022-04-17 20:21:05
21042 5c6bd2c2210b281db9f4c8e7 高中 解答题 自招竞赛 设 $S$ 是所有有理数 $r$ 组成的集合，其中 $0<r<1$，并且它有循环的十进制表示形式 $0$．
$abcabcabc\cdots =0.\dot{a}b\dot{c}$．这里数字 $a$，$b$，$c$ 不必互不相同，把 $S$ 中的元素写成最简分数的形式，那么分子共有多少种不同的取值？		 2022-04-17 20:21:05
21041 5c6bd2cb210b281db9f4c8ed 高中 解答题 自招竞赛 集合 $\left\{ 1000, 1001 ,1002 ,\cdots, 2000 \right\}$ 中有多少对相邻自然数，它们相加时将不出现进位的情况？ 2022-04-17 20:20:05
21040 5c6bd2d9210b281db9f4c8f3 高中 解答题 自招竞赛 四面体 $ABCD$ 的 $ABC$ 面和 $BCD$ 面相交成 $30{}^\circ $ 的角．三角形 $ABC$ 的面积是120，三角形 $BCD$ 的面积是80，且 $BC=10$．试求四面体的体积． 2022-04-17 20:19:05
21039 5c6bd2e0210b281db9f4c8f9 高中 解答题 自招竞赛 对于任意的实数数列 $A=\left( {{a}_{1}} ,{{a}_{2}}, {{a}_{3}} ,\cdots \right)$，定义 $\Delta A$ 为数列 $\left( {{a}_{2}}-{{a}_{1}}, {{a}_{3}}-{{a}_{2}} ,{{a}_{4}}-{{a}_{3}}, \cdots \right)$，其中它的第 $n$ 项为 ${{a}_{n+1}}-{{a}_{n}}$．假设 $\Delta \left( \Delta A \right)$ 的所有项都是1，而 ${{a}_{19}}={{a}_{92}}=0$，试求 ${{a}_{1}}$． 2022-04-17 20:19:05
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