用电波发送两组字母串 $\text{aaa}$ 和bbb，每个字母串都是一个字母接一个字母地发送．由于设备的不完善，发送的六个字母中每一个被接收错的概率都是 $\frac{1}{3}$，应该是b却接收为 $\text{a}$，应该为a却接收为 $\text{b}$．然而每个字母接收的正确与否都不受其他字母接收情况的影响．设 ${{S}_{\text{a}}}$ 表示发送aaa时接收到的三个字母组成的字母串，${{S}_{\text{b}}}$ 表示发送bbb时接收到的三个字母组成的字母串．$P$ 表示按字典顺序 ${{S}_{\text{a}}}$ 先于 ${{S}_{\text{b}}}$ 的概率（例如，按字典顺序aab先于baa；aab先于aba，aba先于 $\text{abb}$ 等），那么当把 $P$ 表示成最简分数时，其分子是什么数？
【难度】
【出处】
1991年第9届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
532
【解析】
令 ${{S}_{\text{a}}}$ 表示发送字母串aaa时接收到的三字母串为 ${{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}$，${{S}_{\text{b}}}$ 表示发送字母串bbb时接收到的三字母串为 ${{y}_{1}}{{y}_{2}}{{y}_{3}}$，这 ${{x}_{k}}$，${{y}_{k}}$ 的每一个都是 $a$ 或 $b$．
为了方便，引入符号 $\propto $ 表示一个字母串按字典顺序先于另一个（若 ${{S}_{1}}$，${{S}_{2}}$ 为两个字母串，${{S}_{1}}\propto {{S}_{2}}$ 读作 ${{S}_{1}}$ 按字典顺序先于 ${{S}_{2}}$），${{P}_{\text{rob}}}\left({{S}_{\text{a}}}\propto {{S}_{\text{b}}} \right)$ 表示 ${{S}_{\text{a}}}\propto{{S}_{\text{b}}}$ 的概率．因为每个字母的接收独立于其他字母的接收，有
${{P}_{\text{rob}}}\left({{S}_{\text{a}}}\propto {{S}_{\text{b}}} \right)={{P}_{\text{rob}}}\left({{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}\propto {{y}_{1}}{{y}_{2}}{{y}_{3}} \right)$
$={{P}_{\text{rob}}}\left( {{x}_{1}}\propto{{y}_{1}} \right)+{{P}_{\text{rob}}}\left({{x}_{1}}={{y}_{1}},{{x}_{2}}\propto {{y}_{2}} \right)+{{P}_{\text{rob}}}\left({{x}_{1}}={{y}_{1}},{{x}_{2}}={{y}_{2}},{{x}_{3}}\propto {{y}_{3}}\right)$
$={{P}_{\text{rob}}}\left( {{x}_{1}}\propto{{y}_{1}} \right)+{{P}_{\text{rob}}}\left( {{x}_{1}}={{y}_{1}} \right)\cdot{{P}_{\text{rob}}}\left( {{x}_{2}}\propto {{y}_{2}} \right)$ $+{{P}_{\text{rob}}}\left({{x}_{1}}={{y}_{1}} \right)\cdot {{P}_{\text{rob}}}\left( {{x}_{2}}={{y}_{2}}\right)\cdot {{P}_{\text{rob}}}\left( {{x}_{3}}\propto {{y}_{3}} \right)$，
由于 ${{x}_{1}}\propto{{y}_{1}}$ 的充分必要条件是 ${{x}_{1}}=a$，${{y}_{1}}=b$．也就是说当且仅当这些字母被正确接收时 ${{x}_{1}}\propto {{y}_{1}}$．而每个字母被正确接收的概率为 $\frac{2}{3}$．
所以 ${{P}_{\text{rob}}}\left({{x}_{1}}\propto {{y}_{1}} \right)=\frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}=\frac{4}{9}$．
同理 ${{P}_{\text{rob}}}\left({{x}_{2}}\propto {{y}_{2}} \right)={{P}_{\text{rob}}}\left( {{x}_{3}}\propto{{y}_{3}} \right)=\frac{4}{9}$．
又由于 ${{x}_{1}}={{y}_{1}}$ 的充分必要条件是两个字母中有一个接收是正确的而另一个是错误的．
所以 ${{P}_{\text{rob}}}\left({{x}_{1}}={{y}_{1}} \right)={{P}_{\text{rob}}}\left( {{x}_{1}}={{y}_{1}}=a\right)+P\left( {{x}_{1}}={{y}_{1}}=b \right)$
$=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\cdot \frac{2}{3}=\frac{4}{9}$．
所以 ${{P}_{\text{rob}}}\left({{S}_{a}}\propto {{S}_{b}} \right)=\frac{4}{9}+{{\left( \frac{4}{9}\right)}^{2}}+{{\left( \frac{4}{9} \right)}^{3}}=\frac{532}{729}$．故所求的分子数为532．
为了方便，引入符号 $\propto $ 表示一个字母串按字典顺序先于另一个（若 ${{S}_{1}}$，${{S}_{2}}$ 为两个字母串，${{S}_{1}}\propto {{S}_{2}}$ 读作 ${{S}_{1}}$ 按字典顺序先于 ${{S}_{2}}$），${{P}_{\text{rob}}}\left({{S}_{\text{a}}}\propto {{S}_{\text{b}}} \right)$ 表示 ${{S}_{\text{a}}}\propto{{S}_{\text{b}}}$ 的概率．因为每个字母的接收独立于其他字母的接收，有
${{P}_{\text{rob}}}\left({{S}_{\text{a}}}\propto {{S}_{\text{b}}} \right)={{P}_{\text{rob}}}\left({{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}\propto {{y}_{1}}{{y}_{2}}{{y}_{3}} \right)$
$={{P}_{\text{rob}}}\left( {{x}_{1}}\propto{{y}_{1}} \right)+{{P}_{\text{rob}}}\left({{x}_{1}}={{y}_{1}},{{x}_{2}}\propto {{y}_{2}} \right)+{{P}_{\text{rob}}}\left({{x}_{1}}={{y}_{1}},{{x}_{2}}={{y}_{2}},{{x}_{3}}\propto {{y}_{3}}\right)$
$={{P}_{\text{rob}}}\left( {{x}_{1}}\propto{{y}_{1}} \right)+{{P}_{\text{rob}}}\left( {{x}_{1}}={{y}_{1}} \right)\cdot{{P}_{\text{rob}}}\left( {{x}_{2}}\propto {{y}_{2}} \right)$ $+{{P}_{\text{rob}}}\left({{x}_{1}}={{y}_{1}} \right)\cdot {{P}_{\text{rob}}}\left( {{x}_{2}}={{y}_{2}}\right)\cdot {{P}_{\text{rob}}}\left( {{x}_{3}}\propto {{y}_{3}} \right)$，
由于 ${{x}_{1}}\propto{{y}_{1}}$ 的充分必要条件是 ${{x}_{1}}=a$，${{y}_{1}}=b$．也就是说当且仅当这些字母被正确接收时 ${{x}_{1}}\propto {{y}_{1}}$．而每个字母被正确接收的概率为 $\frac{2}{3}$．
所以 ${{P}_{\text{rob}}}\left({{x}_{1}}\propto {{y}_{1}} \right)=\frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}=\frac{4}{9}$．
同理 ${{P}_{\text{rob}}}\left({{x}_{2}}\propto {{y}_{2}} \right)={{P}_{\text{rob}}}\left( {{x}_{3}}\propto{{y}_{3}} \right)=\frac{4}{9}$．
又由于 ${{x}_{1}}={{y}_{1}}$ 的充分必要条件是两个字母中有一个接收是正确的而另一个是错误的．
所以 ${{P}_{\text{rob}}}\left({{x}_{1}}={{y}_{1}} \right)={{P}_{\text{rob}}}\left( {{x}_{1}}={{y}_{1}}=a\right)+P\left( {{x}_{1}}={{y}_{1}}=b \right)$
$=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\cdot \frac{2}{3}=\frac{4}{9}$．
所以 ${{P}_{\text{rob}}}\left({{S}_{a}}\propto {{S}_{b}} \right)=\frac{4}{9}+{{\left( \frac{4}{9}\right)}^{2}}+{{\left( \frac{4}{9} \right)}^{3}}=\frac{532}{729}$．故所求的分子数为532．
答案
解析
备注
