设 $S$ 是所有有理数 $r$ 组成的集合，其中 $0<r<1$，并且它有循环的十进制表示形式 $0$．
$abcabcabc\cdots =0.\dot{a}b\dot{c}$．这里数字 $a$，$b$，$c$ 不必互不相同，把 $S$ 中的元素写成最简分数的形式，那么分子共有多少种不同的取值？
$abcabcabc\cdots =0.\dot{a}b\dot{c}$．这里数字 $a$，$b$，$c$ 不必互不相同，把 $S$ 中的元素写成最简分数的形式，那么分子共有多少种不同的取值？
【难度】
【出处】
1992年第10届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
660
【解析】
首先注意到 $0.\dot{a}b\dot{c}=\frac{\overline{abc}}{999}$，而 $999={{3}^{3}}\times37$．
如果 $\overline{abc}$ 既不能被3也不能被37整除，则上式已是最简分式．据容斥原理，可知一共有 $999-\left( \frac{999}{3}+\frac{999}{37} \right)+\left(\frac{999}{3\times 37} \right)=999\left( 1-\frac{1}{3} \right)\left(1-\frac{1}{37} \right)=648$ 个这样的最简分数．
除去这些最简分数余下的最简分数，其分子都可被3或37整除．这种分数必为形如下述的数：$\frac{k}{37}$，其中 $k$ 是3的倍数但不是37之倍数，或 $\frac{l}{{{3}^{m}}}$，其中 $l$ 是37之倍数但不是3的倍数而 $m=1 2 3$．
而 $s$ 中第二种类型的分数是不存在的，因为这种形式的数都大于1．$s$ 中第一种类型的数有12个，他们分别是当 $k=3 6\\ \cdots 36$ 时的分数．故知 $s$ 中的数表达成最简分式后不同的分子数目共有 $648+12=660$ 个．
如果 $\overline{abc}$ 既不能被3也不能被37整除，则上式已是最简分式．据容斥原理，可知一共有 $999-\left( \frac{999}{3}+\frac{999}{37} \right)+\left(\frac{999}{3\times 37} \right)=999\left( 1-\frac{1}{3} \right)\left(1-\frac{1}{37} \right)=648$ 个这样的最简分数．
除去这些最简分数余下的最简分数，其分子都可被3或37整除．这种分数必为形如下述的数：$\frac{k}{37}$，其中 $k$ 是3的倍数但不是37之倍数，或 $\frac{l}{{{3}^{m}}}$，其中 $l$ 是37之倍数但不是3的倍数而 $m=1 2 3$．
而 $s$ 中第二种类型的分数是不存在的，因为这种形式的数都大于1．$s$ 中第一种类型的数有12个，他们分别是当 $k=3 6\\ \cdots 36$ 时的分数．故知 $s$ 中的数表达成最简分式后不同的分子数目共有 $648+12=660$ 个．
答案
解析
备注
