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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
21018 5c6e07a1210b281dbaa9355c 高中 解答题 自招竞赛 由能被3整除且比完全平方数小1的正整数组成的递增序列3，15，24，48，…，这个序列的第1994项除以1000的余数是多少？ 2022-04-17 20:07:05
21017 5c6e07ad210b281dbaa93562 高中 解答题 自招竞赛 如图所示，$PQ=10$，以 $PQ$ 为直径的圆与一个以20为半径的圆相切于点 $P$，正方形 $ABCD$ 的顶点 $A$，$B$ 在大圆上，小圆在正方形的外部且与 $CD$ 切于点 $Q$，若 $AB=m+\sqrt{n}$，其中 $m$，$n$ 是整数，求 $m+n$． 2022-04-17 20:06:05
21016 5c6e07c9210b281db9f4c9bc 高中 解答题 自招竞赛 对任意的实数 $x$，函数 $f\left( x \right)$ 有性质 $f\left( x \right)+f\left( x-1 \right)={{x}^{2}}$．如果 $f\left( 19 \right)=94$，那么，$f\left( 94 \right)$ 除1000的余数是多少？ 2022-04-17 20:05:05
21015 5c6e07da210b281db9f4c9c1 高中 解答题 自招竞赛 对实数 $x$，$\left[ x \right]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数部分，求使 $\left[ {{\log }_{2}}1 \right]+\left[ {{\log }_{2}}2 \right]+\left[ {{\log }_{2}}3 \right]+\cdots +\left[ {{\log }_{2}}n \right]=1994$ 成立的正整数 $n$． 2022-04-17 20:05:05
21014 5c6e07fa210b281dbaa93568 高中 解答题 自招竞赛 对给定的一个正整数 $n$．设 $p\left( n \right)$ 表示 $n$ 的各位上的非零的数字乘积（如果 $n$ 只有一位数字，那么 $p\left( n \right)$ 等于那个数字）．若 $S=p\left( 1 \right)+p\left( 2 \right)+p\left( 3 \right)+\cdots +p\left( 999 \right)$，则 $S$ 的最大素因子是多少？ 2022-04-17 20:05:05
21013 5c6e080b210b281db9f4c9c7 高中 解答题 自招竞赛 在坐标平面上画出 $y=k$，$y=\sqrt{3}x+2k$，$y=-\sqrt{3}x+2k$，其中 $k=-10$，$-9$，$-8$，$\cdots$，$9$，$10$ 的图像，这 $63$ 条直线可将平面切为若干个等边三角形．求边长为 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 的等边三角形的个数． 2022-04-17 20:04:05
21012 5c6e0820210b281dbaa9356f 高中 解答题 自招竞赛 求使方程组 $\left\{ \begin{align}
& ax+by=1 \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=50 \\
\end{align} \right.$ 至少有一解，且所有的解都是整数解的实数对 $\left( a b \right)$ 的个数．		 2022-04-17 20:03:05
21011 5c6e082c210b281dbaa93574 高中 解答题 自招竞赛 点 $\left( 0, 0 \right)$，$\left( a, 11 \right)$ 和 $\left( b ,37 \right)$ 是一个等边三角形的顶点．求 $a\cdot b$ 的值． 2022-04-17 20:02:05
21010 5c6e0840210b281dbaa93579 高中 解答题 自招竞赛 一种单人纸牌游戏，其规则如下：将6对不相同的纸牌放入一个书包中，游戏者每次随机地从书包中抽一张牌放在手中，不过当他手中有成对的牌时，就将其放到一边，如果游戏者手中有三张两两互不成对的牌，游戏就结束，否则抽牌继续进行直到书包中没有纸牌为止．设书包空的概率为 $\frac{p}{q}$，这里 $p$，$q$ 为互素的正整数．求 $p+q$． 2022-04-17 20:01:05
21009 5c6e0851210b281db9f4c9d0 高中 解答题 自招竞赛 在 $\operatorname{Rt}\vartriangle ABC$ 中，$\angle C$ 为直角，$CD$ 为 $AB$ 边上的高，$D$ 为垂足，$\vartriangle ABC$ 各边长都是整数，且 $BD={{29}^{3}}$，$\cos B=\frac{m}{n}$，$m$，$n$ 是互素的正整数，求 $m+n$． 2022-04-17 20:01:05
21008 5c6e0864210b281db9f4c9d5 高中 解答题 自招竞赛 用94块大小尺寸均为 ${4}''\times 1{0}''\times 1{9}''$ 的砖，一块放在另一块的上面堆积成一个94块砖高的塔，每块砖可随意摆放为塔提供 ${4}''$ 或 $1{0}''$ 或 $1{9}''$ 的高度．若94块全部用上可摆放多少种不同高度的塔？ 2022-04-17 20:01:05
21007 5c6e086f210b281db9f4c9db 高中 解答题 自招竞赛 一块用栅栏围成的长方形的土地大小为 $24\text{m}\times 52\text{m}$，一位农业科技人员欲将这块土地内部分割为一些全等的正方形试验田．要求这块土地全部被划分而且分割成的正方形的边与土地的边界平行．试问 $1994\text{m}$ 的栅栏最多可将这块土地分为多少块正方形试验田？ 2022-04-17 20:00:05
21006 5c6e0892210b281dbaa93586 高中 解答题 自招竞赛 如图所示，一束光以入射角 $\alpha =19.94{}^\circ $ 射到线段 $BC$ 的端点 $C$，然后以同样大小的角度反射出去，射到 $AB$ 又继续反射……光绕遵照“入射角等于反射角”的规律在 $AB$ 与 $BC$ 之间反射，若 $\beta =\frac{\alpha }{10}=1.994{}^\circ $，$AB=BC$，且计算中包括第一次由 $C$ 点的反射，试确定光线在两线段之间的反射次数． 2022-04-17 20:59:04
21005 5c6e0899210b281dbaa9358b 高中 解答题 自招竞赛 一个三角形状的纸片 $ABC$ 和其上一点 $P$，考虑将 $A$，$B$，$C$ 折在点 $P$ 上所形成的抓痕，如果三条折痕互不相交，我们称 $P$ 为 $\vartriangle ABC$ 的一个折叠点．如果 $AB=36$，$AC=72$，$\angle B=90{}^\circ $，且由 $\vartriangle ABC$ 折叠点所形成的集合面积具有 $q\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }-r\sqrt{s}$ 的形式，其中 $q$，$r$ 和 $s$ 均为正整数且 $s$ 没有平方因子．求 $q+r+s$． 2022-04-17 20:58:04
21004 5c6e148d210b281db9f4c9fc 高中 解答题 自招竞赛 1．正方形 ${{S}_{1}}$ 的边长为1．对于 $i\geqslant 1$，正方形 ${{S}_{i+1}}$ 的边长是正方形 ${{S}_{i}}$ 的边长的一半，并且 ${{S}_{i}}$ 的两条邻边分别垂直平分 ${{S}_{i+1}}$ 的两条邻边，而 ${{S}_{i+1}}$ 的另两条边分别垂直平分 ${{S}_{i+2}}$ 的两条邻边（如图）．设由 ${{S}_{1}}$，${{S}_{2}}$，${{S}_{3}}$，${{S}_{4}}$，${{S}_{5}}$ 围成的区域的总面积为 $\frac{m}{n}$ 的形式，其中 $m$ 与 $n$ 是互素的正整数．求 $m-n$． 2022-04-17 20:57:04
21003 5c6e149b210b281dbaa935a5 高中 解答题 自招竞赛 求方程 $\sqrt{1995}{{x}^{{{\log }_{{{1995}^{x}}}}}}={{x}^{2}}$ 的所有正根乘积的末三位数． 2022-04-17 20:57:04
21002 5c6e14a6210b281dbaa935aa 高中 解答题 自招竞赛 在坐标平面上一物体从 $\left( 0, 0 \right)$ 出发，逐步移动，每一步的长度都是1，每一步等可能地向上、下、左、右中的任一方向移动．设 $p$ 是物体用不多于6步就从 $\left( 0, 0 \right)$ 到达 $\left( 2, 2 \right)$ 的概率．$p$ 能够写成 $\frac{m}{n}$ 的形式，其中 $m$ 与 $n$ 是互素的正整数．求 $m+n$． 2022-04-17 20:56:04
21001 5c6e14b2210b281db9f4ca04 高中 解答题 自招竞赛 两个半径分别为3和6的圆外切，并且它们内切于半径为9的圆，一条大圆的弦是两个小圆的外公切线，如图所示．求这条弦长度的平方． 2022-04-17 20:55:04
21000 5c6e14c0210b281dbaa935b0 高中 解答题 自招竞赛 对于定实数 $a$，$b$，$c$，$d$，方程 ${{x}^{4}}+a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d=0$ 有四个非实数根，其中两个根的积是 $13+\text{i}$，另两个根的和是 $3+4\text{i}$，其中 $\text{i}=\sqrt{-1}$，求 $b$． 2022-04-17 20:54:04
20999 5c6e14cc210b281db9f4ca0a 高中 解答题 自招竞赛 设 $n={{2}^{31}}{{3}^{19}}$，那么 ${{n}^{2}}$ 的小于 $n$ 但不整除 $n$ 为正整数因数有多少？ 2022-04-17 20:54:04
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