某人观察到 $6!=8\cdot 9\cdot 10$，求最大的正整数 $n$，使得 $n!$ 能够表示成 $n-3$ 个连续正整数的乘积．
【难度】
【出处】
1990年第8届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
120
【解析】
设 $n!=\left(k+1 \right)\left( k+2 \right)\times \cdots \times \left( k+n-3 \right)$，$k\in\mathbf{N}$，则 $k-3\geqslant 1$，所以 $k\geqslant 4$．
（1）$k=4$ 时，$n!=5\times 6\times 7\cdots \times n\times \left( n+1 \right)$，
所以 $1\times 2\times3\times 4=n+1$，$n=23$．
（2）$k=5$ 时，$n!=6\times 7\times 8\times \cdots \times \left( n+1 \right)\left(n+2 \right)$．
所以 $1\times 2\times3\times 4\times 5=\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)$，
$\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)=120$，
方程无正整数解．
（3）$k\geqslant 6$ 时，$n!=\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)\cdots \left( k+n-3 \right)$ $\ge7\times 8\times \cdots \times n\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)\left( n+3\right)$，
所以 $6!\geqslant \left( n+1\right)\left( n+2 \right)\left( n+3 \right)$，
即 $8\cdot 9\cdot 10\geqslant\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)\left( n+3 \right)$．$n\leqslant 7$．
因此，最大的正整数 $n=23$．
（1）$k=4$ 时，$n!=5\times 6\times 7\cdots \times n\times \left( n+1 \right)$，
所以 $1\times 2\times3\times 4=n+1$，$n=23$．
（2）$k=5$ 时，$n!=6\times 7\times 8\times \cdots \times \left( n+1 \right)\left(n+2 \right)$．
所以 $1\times 2\times3\times 4\times 5=\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)$，
$\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)=120$，
方程无正整数解．
（3）$k\geqslant 6$ 时，$n!=\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)\cdots \left( k+n-3 \right)$ $\ge7\times 8\times \cdots \times n\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)\left( n+3\right)$，
所以 $6!\geqslant \left( n+1\right)\left( n+2 \right)\left( n+3 \right)$，
即 $8\cdot 9\cdot 10\geqslant\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)\left( n+3 \right)$．$n\leqslant 7$．
因此，最大的正整数 $n=23$．
答案
解析
备注
