集合 $\left\{ 1000, 1001 ,1002 ,\cdots, 2000 \right\}$ 中有多少对相邻自然数，它们相加时将不出现进位的情况？
【难度】
【出处】
1992年第10届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
156
【解析】
设 $n$ 的十进表达式是 $\overline{1abc}$，如果 $a$，$b$，$c$ 中的一个是5，6，7或8时，则当 $n$ 和 $n+1$ 相加时将发生进位，再若 $b=9$ 而 $c\ne 9$；$a=9$ 而 $b\ne 9$ 或 $c\ne 9$．则当 $n$ 和 $n+1$ 相加时也将发生进位．
如果 $n$ 不是上面描述的数，则 $n$ 有如下形式：$\overline{1abc}$，$\overline{1ab9}$，$\overline{1a99}$，$\overline{1999}$，其中 $a ,b ,c\in \left\{ 0, 1 ,2, 3 ,4 \right\}$．对这种形式的 $n$，当 $n$ 和 $n+1$ 相加时不会发生进位．所以一共有 ${{5}^{3}}+{{5}^{2}}+5+1=156$ 个这样的 $n$．
如果 $n$ 不是上面描述的数，则 $n$ 有如下形式：$\overline{1abc}$，$\overline{1ab9}$，$\overline{1a99}$，$\overline{1999}$，其中 $a ,b ,c\in \left\{ 0, 1 ,2, 3 ,4 \right\}$．对这种形式的 $n$，当 $n$ 和 $n+1$ 相加时不会发生进位．所以一共有 ${{5}^{3}}+{{5}^{2}}+5+1=156$ 个这样的 $n$．
答案
解析
备注
