六边形内接于圆，其中五条边的长为81，第六条边记为 $AB$，长为31，求由 $A$ 引出的三条对角线的长度之和．
【难度】
【出处】
1991年第9届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
384
【解析】
按顺序记余下的四个顶点为 $C$，$D$，$E$ 和 $F$．设三条对角线 $AC$，$AD$ 和 $AE$ 的长度分别为 $a$，$b$ 和 $c$，则 $BD=c$，则 $BD=c$，$BE=b$，$DF=c$．
对于圆内接四边形 $ABCD$，$ABDE$ 和 $ADEF$ 分别应用托勒密定理，有
$a\cdot c=31\cdot 38+81b$，（10）
${{b}^{2}}=31\cdot81+{{c}^{2}}$，（11）
${{c}^{2}}={{81}^{2}}+81b$．（12）
从后两个方程可得 ${{b}^{2}}-31\cdot81={{81}^{2}}+81b$，变形为
${{b}^{2}}-81b-81\cdot112=\left( b+63 \right)\left( b-144 \right)=0$．
因为 $b>0$，所以 $b$ 不是 $-63$，只能是144．代入式（11）和式（10），得 $c=135$，$a=105$．三条对角线之和为 $a+b+c=384$．
对于圆内接四边形 $ABCD$，$ABDE$ 和 $ADEF$ 分别应用托勒密定理，有
$a\cdot c=31\cdot 38+81b$，（10）
${{b}^{2}}=31\cdot81+{{c}^{2}}$，（11）
${{c}^{2}}={{81}^{2}}+81b$．（12）
从后两个方程可得 ${{b}^{2}}-31\cdot81={{81}^{2}}+81b$，变形为
${{b}^{2}}-81b-81\cdot112=\left( b+63 \right)\left( b-144 \right)=0$．
因为 $b>0$，所以 $b$ 不是 $-63$，只能是144．代入式（11）和式（10），得 $c=135$，$a=105$．三条对角线之和为 $a+b+c=384$．
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