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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
20998 5c6e14ec210b281db9f4ca10 高中 解答题 自招竞赛 使得 $\frac{x}{y}$ 和 $\frac{x+1}{y+1}$ 同时是整数，并且满足 $y<x\leqslant 100$ 的正整数对 $\left( x ,y \right)$ 有多少个？ 2022-04-17 20:53:04
20997 5c6e14fa210b281dbaa935bb 高中 解答题 自招竞赛 在 $\vartriangle ABC$ 中，$AB=AC$，高 $AM=11$，点 $D$ 在 $AM$ 上，$AD=10$，$\angle BDC=3\angle BAC$，且 $\vartriangle ABC$ 的周长可以写成 $a+\sqrt{b}$ 的形式，其中 $a$，$ b$ 是整数，求 $a+b$． 2022-04-17 20:52:04
20996 5c6e150b210b281dbaa935c1 高中 解答题 自招竞赛 在不能表示成42的正整数倍与一个合数之和的正整数中，最大的是几？ 2022-04-17 20:51:04
20995 5c6e1515210b281dbaa935c7 高中 解答题 自招竞赛 长方体 $P$ 的棱长为整数 $a$，$b$，$c$，$a\leqslant b\leqslant c$，如果可以用一个与 $P$ 的某个面平行的平面将 $P$ 截为两个体积不为零的长方体，使得其中一个与 $P$ 相似，那么，当 $b=1995$ 时，这样的数组 $\left( a, b ,c \right)$ 有多少个？ 2022-04-17 20:51:04
20994 5c6e151f210b281db9f4ca17 高中 解答题 自招竞赛 $OABCD$ 是以正方形 $ABCD$ 为底的棱锥，棱长 $OA$，$OB$，$OC$ 和 $OD$ 均相等，$\angle AOB=45{}^\circ $．设平面 $OAB$ 与平面 $OBC$ 的二面角为 $\theta $，已知 $\cos \theta =m+\sqrt{n}$，其中 $m$，$n$ 是整数，求 $m+n$． 2022-04-17 20:50:04
20993 5c6e152a210b281dbaa935cd 高中 解答题 自招竞赛 设 $f\left( n \right)$ 为最接近于 $\sqrt[4]{n}$ 的整数，求 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{1995}{\frac{1}{f\left( k \right)}}$． 2022-04-17 20:49:04
20992 5c6e153f210b281db9f4ca1d 高中 解答题 自招竞赛 在半径为42的圆中，两条长为78的弦交于一点，该点到圆心的距离为18，两条弦把圆的内部分成4个区域，其中有两块区域的面积相等，并且这两块区域的面积均可以用 $m\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }-n\sqrt{d}$ 的唯一形式表示，其中 $m$，$n$，$d$ 是正整数，且 $d$ 不被任何素数的平方整除，求 $m+n+d$． 2022-04-17 20:49:04
20991 5c6e1549210b281dbaa935d3 高中 解答题 自招竞赛 设重复地投掷一枚均匀的硬币时，连续两次出列背面这前连续5次出现正面的概率为 $p$，$p$ 能够写成 $\frac{m}{n}$ 的形式，其中 $m$ 与 $n$ 是互素的正整数．求 $m+n$． 2022-04-17 20:48:04
20990 5c6e3b3a210b281dbaa935e4 高中 解答题 自招竞赛 1．一个幻方中，每一行、每列是及第一对角线上的三个数之和有相同的值．如图所示是一个幻方中的四个数，求 $x$． 2022-04-17 20:48:04
20989 5c6e3b8b210b281db9f4ca39 高中 解答题 自招竞赛 一边长为 $1\operatorname{cm}$ 的木制立方体放在一水平面上，在一个上顶点的正上方 $x$ 厘米处的一个点光源照射立方体在水平面上成一影子，这影子的面积，不包括立方体下底面的面积，是 $48{{\operatorname{cm}}^{2}}$．求不超过 $1000x$ 的最大整数． 2022-04-17 20:47:04
20988 5c6e3ba0210b281db9f4ca44 高中 解答题 自招竞赛 在5个队参加的比赛中，每个队与别的队都比赛一场，一场比赛中每个参加的队有 $50\text{ }\!\!%\!\!\text{ }$ 赢的机会（没有平局），整个比赛既没有不败的队也没有不胜的队的概率记为 $\frac{m}{n}$，这里 $m$，$n$ 为互素的正整数．求 $m+n$． 2022-04-17 20:46:04
20987 5c6e3baf210b281db9f4ca4a 高中 解答题 自招竞赛 一个 $7\times 7$ 的棋盘的2个方格着黄色，其余的方格着绿色．如果一种着色法可从另一种着色法经过在棋盘的平面中的旋转而得到，那么这两种着色法看成同一种．可能有多少种不同的着色法？ 2022-04-17 20:46:04
20986 5c6e3bbd210b281db9f4ca4f 高中 解答题 自招竞赛 两个正数的调和平均是它们的倒数的算术平均的倒数，有多少个正整数的有序对 $\left( x, y \right)$，使得 $x<y$ 且 $x$ 与 $y$ 的调和平均等于 ${{6}^{20}}$？ 2022-04-17 20:45:04
20985 5c6e3be2210b281db9f4ca5b 高中 解答题 自招竞赛 求方程 $\tan \left( 19x{}^\circ \right)=\frac{\cos 96{}^\circ +\sin 96{}^\circ }{\cos 96{}^\circ -\sin 96{}^\circ }$ 的最小正整数解． 2022-04-17 20:45:04
20984 5c6e3bf4210b281db9f4ca65 高中 解答题 自招竞赛 对整数1，2，3，…，10的每一个排列 ${{a}_{1}}$，${{a}_{2}}$，…，${{a}_{10}}$，作和
$\left| {{a}_{1}}-{{a}_{2}} \right|+\left| {{a}_{3}}-{{a}_{4}} \right|+\left| {{a}_{5}}-{{a}_{6}} \right|+\left| {{a}_{7}}-{{a}_{8}} \right|+\left| {{a}_{9}}-{{a}_{10}} \right|$ 全部这样的和的平均值能写成 $\frac{p}{q}$ 的形式，这里 $p$，$q$ 是互素的正整数．求 $p+q$．		 2022-04-17 20:44:04
20983 5c6e3c00210b2877bc9005c2 高中 解答题 自招竞赛 在 $\vartriangle ABC$ 中，$AB=\sqrt{30}$，$AC=\sqrt{6}$，$BC=\sqrt{15}$．有一个点 $D$ 使得 $AD$ 平分 $BC$ 并且 $\angle ADB$ 是直角．比值 $\frac{{{S}_{\vartriangle ADB}}}{{{S}_{\vartriangle ABC}}}$ 能写成 $\frac{m}{n}$ 的形式，这里 $m$，$n$ 是互素的正整数．求 $m+n$． 2022-04-17 20:44:04
20982 5c6e3c0c210b2877bc9005c7 高中 解答题 自招竞赛 一个 $150\times 324\times 372$ 的长方体由 $1\times 1\times 1$ 的单位立方体胶合在一起而做成的．这长方体的一条内对角线穿过多少个单位立方体的内部？ 2022-04-17 20:43:04
20981 5c6e3c1f210b2877bc9005cd 高中 解答题 自招竞赛 在平行四边形 $ABCD$ 中，设 $O$ 是对角线 $AC$ 与 $BD$ 的交点．$\angle CAB$ 与 $\angle DBC$ 都是 $\angle DBA$ 的2倍，$\angle ACB$ 是 $\angle AOB$ 的 $r$ 倍．求不超过 $1000r$ 的最大整数． 2022-04-17 20:42:04
20980 5c6e4c3b210b2877bbec8d55 高中 解答题 自招竞赛 从1到1000的整数中，有多少个能够表示为两个非负整数的平方差？ 2022-04-17 20:42:04
20979 5c6e50eb210b287fc87f58d3 高中 解答题 自招竞赛 由9条水平线与9条竖直线组成的 $8\times 8$ 的棋盘共形成 $r$ 个矩形，其中有 $s$ 个正方形．$\frac{s}{r}$ 的值可以由 $\frac{m}{n}$ 的形式表示，其中 $m$，$n$ 均为正整数，且 $\frac{m}{n}$ 是既约分数，求 $m+n$ 的值． 2022-04-17 20:42:04
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