设 $r$ 实数，且 $\left[ r+\frac{19}{100} \right]+\left[ r+\frac{20}{100} \right]+\cdots +\left[ r+\frac{91}{100} \right]=546$．试求 $\left[ 100r \right]$（对于实数 $x$，$\left[ x \right]$ 表示不大于 $x$ 的最大整数）．
【难度】
【出处】
1991年第9届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
743
【解析】
等式的左边共有 $91-19+1=73$ 项，每一项或者等于 $\left[ r \right]$，或者等于 $\left[ r \right]+1$，这是因为 $\frac{19}{100}$，$\frac{20}{100}$，…，$\frac{91}{100}$ 都小于1．因为 $73\times7<546<73\times 8$，所以，为使和数为546，$\left[ r\right]$ 必须是7．设 $\left[r+\frac{k}{100} \right]=7$，$19\leqslant k\leqslant m$，且 $\left[ r+\frac{k}{100} \right]=8$，$m+1\leqslant k\leqslant 91$，则 $7\left(m-18 \right)+8\left( 91-m \right)=546$．解之，得 $m=56$，于是 $\left[r+\frac{56}{100} \right]=7$ 且 $\left[ r+\frac{57}{100} \right]=8$．
由此推知 $7.43\leqslant r\leqslant 7.44$，从而 $\left[100r \right]=743$．
由此推知 $7.43\leqslant r\leqslant 7.44$，从而 $\left[100r \right]=743$．
答案
解析
备注
