试求 ${{A}^{2}}$，其中 $A$ 是方程 $x=\sqrt{19}+\frac{91}{\sqrt{19}+\frac{91}{\sqrt{19}+\frac{19}{\sqrt{19}+\frac{19}{\sqrt{19}+\frac{91}{x}}}}}$ 所有根的绝对值的和．
【难度】
【出处】
1991年第9届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
383
【解析】
方程右端的分式可以简化为 $\frac{ax+b}{cx+d}$．其中 $a b c d$ 都是实数，可见已知方程是二次方程，它至多有两个根．另外可见，方程 $x=\sqrt{19}+\frac{91}{x}$（3）
的根也是原方程的根，这只要在（3）的右端再次地用 $\sqrt{19}+\frac{91}{x}$ 代替 $x$，直到变成原方程的右端便可看出．方程（3）有两个根 $x=\frac{\sqrt{19}+\sqrt{383}}{2}$，$x=\frac{\sqrt{19}-\sqrt{383}}{2}$．这也是原方程的根，这两个根的绝对值之和为 $A=\sqrt{383}$，所以 ${{A}^{2}}=383$．
的根也是原方程的根，这只要在（3）的右端再次地用 $\sqrt{19}+\frac{91}{x}$ 代替 $x$，直到变成原方程的右端便可看出．方程（3）有两个根 $x=\frac{\sqrt{19}+\sqrt{383}}{2}$，$x=\frac{\sqrt{19}-\sqrt{383}}{2}$．这也是原方程的根，这两个根的绝对值之和为 $A=\sqrt{383}$，所以 ${{A}^{2}}=383$．
答案
解析
备注
