试求所有小于10，并且当写为最简分数时分母等于30的正有理数的和．
【难度】
【出处】
1992年第10届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
一个小于10且用最简分数表示时分母为30的正有理数可写成 $\frac{30n+r}{30}$ 的形式，其中 $n$ 和 $r$ 为整数且满足 $0\leqslant n\leqslant 9$，$0\leqslant r\leqslant 30$，此分数为最简分数的充分必要条件是 $r$ 与30不可约；即当且仅当 $r\in\left\{ 1, 7 ,11 ,13 ,17, 19, 23 ,29 \right\}$，这样，$n$ 有10种选择而 $r$ 只有 $8$ 种选择，而且没有两对选择 $\left(n ,r \right)$ 能使分式 $\frac{30n+r}{30}$ 等值．由此可知所求的和共有 $8\times 10=80$ 项，再注意到：$\frac{k}{30}$ 是这样的分数，当且仅当 $10-\frac{k}{30}=\frac{300-k}{30}$ 也是这样的分数，便可把 $\frac{k}{30}$ 和 $10-\frac{k}{30}$ 配成对计算，因为每一个这种配对的和都是10，故可得所有这种分数的和是
$\left(\frac{1}{30}+\frac{300-1}{30} \right)+\left( \frac{7}{30}+\frac{300-7}{30}\right)+\cdots +\left( \frac{149}{30}+\frac{300-149}{30} \right)=40\times10=400$
$\left(\frac{1}{30}+\frac{300-1}{30} \right)+\left( \frac{7}{30}+\frac{300-7}{30}\right)+\cdots +\left( \frac{149}{30}+\frac{300-149}{30} \right)=40\times10=400$
【解析】
一个小于10且用最简分数表示时分母为 $30$ 的正有理数可写成 $\frac{30n+r}{30}$ 的形式，其中 $n$ 和 $r$ 为整数且满足 $0\leqslant n\leqslant 9$，$0\leqslant r<30$，此分数为最简分数的充分必要条件是 $r$ 与30互素；即当且仅当 $r\in\left\{ 1 ,7 ,11 ,13 ,17 ,19 ,23 ,29 \right\}$，这样 $n$ 有10种选择而 $r$ 只有8种选择，而且没有两对选择 $\left( n ,r \right)$ 能使分式 $\frac{30n+r}{30}$ 等值．由此可知所求的和为
$8\times\left( 1+2+\cdots +9 \right)+10\times \left( \frac{1}{30}+\frac{7}{30}+\cdots+\frac{29}{30} \right)=360+40=400$．
$8\times\left( 1+2+\cdots +9 \right)+10\times \left( \frac{1}{30}+\frac{7}{30}+\cdots+\frac{29}{30} \right)=360+40=400$．
答案
解析
备注
