设 $T=\left\{ {{9}^{k}}|k ,0\leqslant k\leqslant 4000 \right\}$．已知 ${{9}^{4000}}$ 是3817位数且它的首位数字是9，则 $T$ 中有多少个数的首位数字是9？
【难度】
【出处】
1990年第8届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
184
【解析】
记集合 $T$ 中的元素分别为 ${{a}_{0}}={{9}^{0}}=1$，${{a}_{1}}={{9}^{1}}=9$，${{a}_{2}}={{9}^{2}}$，${{a}_{3}}={{9}^{3}}$，…，${{a}_{p}}={{9}^{p}}$，…，${{a}_{4000}}={{9}^{4000}}$．这4001个整数，如果它们的位数各不相同的话，那么 ${{a}_{4000}}={{9}^{4000}}$ 应是4001位数．现如 ${{a}_{4000}}={{9}^{4000}}$ 是3817位数，可是这4001个整数中，有一些整数的位数相同．
（1）若 ${{a}_{p}}={{9}^{p}}$ 和 ${{a}_{p+1}}={{9}^{p+1}}$ 位数相同，则 ${{a}_{p+1}}$ 的首位数字为9，${{a}_{p}}$ 的首位数字为1，反之也成立．设 ${{a}_{p}}={{9}^{p}}=\overline{{{b}_{m}}{{b}_{m-1}}\cdots{{b}_{2}}{{b}_{1}}}$
$={{b}_{m}}\times {{10}^{m-1}}+{{b}_{m-1}}\times {{10}^{m-2}}+\cdots+{{b}_{1}}$，$1\leqslant {{b}_{m}}\leqslant 9$，
${{a}_{p+1}}={{c}_{m}}{{c}_{m-1}}\cdots{{c}_{2}}{{c}_{1}}$
$={{c}_{m}}\times {{10}^{m-1}}+{{c}_{m-1}}\times {{10}^{m-2}}+\cdots+{{c}_{1}}$，$1\leqslant {{c}_{m}}\leqslant 9$，
因为 ${{a}_{p+1}}=9{{a}_{p}}$，所以 ${{c}_{m}}\times{{10}^{m-1}}+{{c}_{m-1}}\times {{10}^{m-2}}+\cdots +{{c}_{1}}=9\times{{b}_{m}}\times {{10}^{m-1}}+9{{b}_{m-1}}\times {{10}^{m-2}}+\cdots+9{{b}_{1}}$．
① 若 $9\times{{b}_{m-1}}<10$，则 ${{c}_{m}}=9{{b}_{m}}$，$1\leqslant {{c}_{m}}\leqslant 9$，$1\leqslant 9{{b}_{m}}\leqslant 9$．所以 ${{b}_{m}}=1$，${{c}_{m}}=9$．
② 若 $9\times{{b}_{m-1}}\geqslant 10$，则 ${{c}_{m}}>9{{b}_{m}}\geqslant 9$，${{c}_{m}}>9$，这是不可能的．反之，若 ${{a}_{p+1}}={{9}^{p+1}}$ 的首位数为9，则 ${{a}_{p}}$ 与 ${{a}_{p+1}}$ 的位数相同（显而易见，略去证明）．
（2）很显然不可能连续三个元素 ${{a}_{p}}$，${{a}_{p+1}}$，${{a}_{p+2}}$ 的位数相同．因为 ${{a}_{p}}={{9}^{p}}$，${{a}_{p+2}}={{9}^{p+2}}=81{{a}_{p}}$，位数比 ${{a}_{p}}$ 的位数大．
综合上述，可知4001个整数中，位数相同的有 $4001-3817=184$ 对，而每对位数相同的两个整数有且仅有一个整数首位的数字为9．因此集合 $T$ 中首位为9的整数有184个．
（1）若 ${{a}_{p}}={{9}^{p}}$ 和 ${{a}_{p+1}}={{9}^{p+1}}$ 位数相同，则 ${{a}_{p+1}}$ 的首位数字为9，${{a}_{p}}$ 的首位数字为1，反之也成立．设 ${{a}_{p}}={{9}^{p}}=\overline{{{b}_{m}}{{b}_{m-1}}\cdots{{b}_{2}}{{b}_{1}}}$
$={{b}_{m}}\times {{10}^{m-1}}+{{b}_{m-1}}\times {{10}^{m-2}}+\cdots+{{b}_{1}}$，$1\leqslant {{b}_{m}}\leqslant 9$，
${{a}_{p+1}}={{c}_{m}}{{c}_{m-1}}\cdots{{c}_{2}}{{c}_{1}}$
$={{c}_{m}}\times {{10}^{m-1}}+{{c}_{m-1}}\times {{10}^{m-2}}+\cdots+{{c}_{1}}$，$1\leqslant {{c}_{m}}\leqslant 9$，
因为 ${{a}_{p+1}}=9{{a}_{p}}$，所以 ${{c}_{m}}\times{{10}^{m-1}}+{{c}_{m-1}}\times {{10}^{m-2}}+\cdots +{{c}_{1}}=9\times{{b}_{m}}\times {{10}^{m-1}}+9{{b}_{m-1}}\times {{10}^{m-2}}+\cdots+9{{b}_{1}}$．
① 若 $9\times{{b}_{m-1}}<10$，则 ${{c}_{m}}=9{{b}_{m}}$，$1\leqslant {{c}_{m}}\leqslant 9$，$1\leqslant 9{{b}_{m}}\leqslant 9$．所以 ${{b}_{m}}=1$，${{c}_{m}}=9$．
② 若 $9\times{{b}_{m-1}}\geqslant 10$，则 ${{c}_{m}}>9{{b}_{m}}\geqslant 9$，${{c}_{m}}>9$，这是不可能的．反之，若 ${{a}_{p+1}}={{9}^{p+1}}$ 的首位数为9，则 ${{a}_{p}}$ 与 ${{a}_{p+1}}$ 的位数相同（显而易见，略去证明）．
（2）很显然不可能连续三个元素 ${{a}_{p}}$，${{a}_{p+1}}$，${{a}_{p+2}}$ 的位数相同．因为 ${{a}_{p}}={{9}^{p}}$，${{a}_{p+2}}={{9}^{p+2}}=81{{a}_{p}}$，位数比 ${{a}_{p}}$ 的位数大．
综合上述，可知4001个整数中，位数相同的有 $4001-3817=184$ 对，而每对位数相同的两个整数有且仅有一个整数首位的数字为9．因此集合 $T$ 中首位为9的整数有184个．
答案
解析
备注
